Valor: 2,5
Um capacitor de placas paralelas é feito utilizando-se duas placas circulares de raio a, com a placa inferior no plano x y, centrada na origem. A placa superior está posicionada em z=d, com seu centro no eixo z. A placa superior está em um potencial V_{0} e a placa inferior está aterrada. O dielétrico que preenche a região entre as placas apresenta uma permissividade que varia em função do raio e é dada por \varepsilon(\rho)= \varepsilon_{0}\left(1+\frac{\rho^{2}}{a^{2}}\right). Com base nessas informações, determine:
a) O campo elétrico no interior do capacitor;
b) A densidade do campo elétrico;
c) A quantidade de carga armazenada;
d) A capacitância.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo.\n
  • Duas placas paralelas circulares de raio a, separadas por uma distância d. A placa inferior está em z=0 e aterrada (potencial zero). A placa superior está em z=d com potencial V_0.\n
  • O dielétrico entre as placas tem permissividade dependente do raio \rho (coordenada cilíndrica) dada por \varepsilon(\rho)=\varepsilon_0\!\left(1+\dfrac{\rho^{2}}{a^{2}}\right).\n
    O que se pede:\n
    (a) o campo elétrico no interior do capacitor;\n
    (b) a densidade do campo elétrico (interpreto aqui como a densidade superficial de carga livre nas placas, \sigma(\rho));\n
    (c) a quantidade de carga armazenada Q;\n
    (d) a capacitância C.

Passo 2

Vamos escolher um método. Pela simetria (placas circulares coaxiais, dielétrico dependente só de \rho, sem cargas livres no volume entre as placas) é natural usar o vetor deslocamento elétrico \mathbf{D} e a lei de Gauss para meios dielétricos:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{livre}}.
Como não há cargas livres no volume entre as placas, \rho_{\text{livre}}=0. Isso simplifica muito e permite achar \mathbf{D} e então \mathbf{E} via a relação constitutiva \mathbf{D}=\varepsilon(\rho)\mathbf{E}. Vou explicar cada passo com calma.

Passo 3

Escrevo a relação constitutiva entre deslocamento e campo:
\mathbf{D}(\rho,z)=\varepsilon(\rho)\mathbf{E}(\rho,z).
Aqui \varepsilon(\rho) é conhecida e \mathbf{E} e \mathbf{D} podem depender de \rho e z. A coordenada \rho é a distância radial ao eixo z.

Passo 4

Uso a lei de Gauss local no dielétrico sem cargas livres:
\nabla\cdot\mathbf{D}=0.
Em coordenadas cilíndricas, para um campo com componentes D_\rho e D_z,
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho D_\rho)+\frac{\partial D_z}{\partial z}=0.
Pela simetria axial e pelas placas planas esperamos que não haja componente radial média do deslocamento entre as placas, então D_\rho=0. Assim a expressão reduz a
\frac{\partial D_z}{\partial z}=0.
Isso diz que D_z não depende de z; pode depender de \rho somente: D_z=D_z(\rho). Em particular, o mesmo D_z(\rho) vale em qualquer plano z entre as placas.

Passo 5

A diferença de potencial entre as placas é dada por
V_0-0 = -\int_{0}^{d}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Tomando o eixo z para cima e \hat{\mathbf{z}} unitário, escrevemos \mathbf{E}=E_z(\rho)\,\hat{\mathbf{z}} (o campo é vertical). Como E_z independe de z (pois D_z independe de z e \varepsilon independe de z), o integral fica
V_0 = -\int_{0}^{d} E_z(\rho)\,dz = -E_z(\rho)\,d.
Logo
E_z(\rho) = -\frac{V_0}{d}.
Observe que o sinal negativo indica que o campo aponta no sentido -\hat{\mathbf{z}} (do potencial maior V_0 na placa superior para a placa inferior em 0).

Passo 6

Com E_z(\rho) conhecido e a relação \mathbf{D}=\varepsilon(\rho)\mathbf{E}, obtemos o deslocamento:
D_z(\rho)=\varepsilon(\rho)E_z(\rho)=\varepsilon_0\!\left(1+\frac{\rho^2}{a^2}\right)\left(-\frac{V_0}{d}\right).
Escrevendo vetorialmente:
\mathbf{E}(\rho)= -\frac{V_0}{d}\,\hat{\mathbf{z}},\qquad \mathbf{D}(\rho)= -\varepsilon_0\!\left(1+\frac{\rho^2}{a^2}\right)\frac{V_0}{d}\,\hat{\mathbf{z}}.

Passo 7

(a) Portanto o campo elétrico no interior do capacitor é uniforme e independente de \rho e z:
\boxed{\mathbf{E}(\rho)= -\dfrac{V_0}{d}\,\hat{\mathbf{z}}.}
Breve interpretação: mesmo com \varepsilon variando com \rho, o potencial varia linearmente com z entre as placas e por isso \mathbf{E} é constante.

Passo 8

(b) A densidade superficial de carga livre na placa superior (em função de \rho) é dada pela condição de contorno de Gauss na interface condutor–dielétrico. A magnitude (sinal escolhido positivo para carga na placa superior) é
\sigma(\rho)= -D_z(\rho)\big|_{z=d^-},
porque D aponta para baixo. Substituindo D_z:
\boxed{\sigma(\rho)=\varepsilon_0\!\left(1+\frac{\rho^2}{a^2}\right)\frac{V_0}{d}.}
A placa inferior terá densidade superficial \sigma_{\text{inferior}}(\rho)=-\sigma(\rho).

Passo 9

(c) A carga total armazenada na placa superior Q é a integral da densidade superficial sobre a área do disco de raio a:
Q=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a}\sigma(\rho)\,\rho\,d\rho\,d\varphi =2\pi\int_{0}^{a}\varepsilon_0\!\left(1+\frac{\rho^2}{a^2}\right)\frac{V_0}{d}\,\rho\,d\rho.
Faço a integral passo a passo:
2\pi\frac{\varepsilon_0 V_0}{d}\left(\int_{0}^{a}\rho\,d\rho+\frac{1}{a^2}\int_{0}^{a}\rho^3\,d\rho\right).
Calcule os integrais:
\int_{0}^{a}\rho\,d\rho=\frac{a^2}{2},\qquad \int_{0}^{a}\rho^3\,d\rho=\frac{a^4}{4}.
Substituindo:
Q=2\pi\frac{\varepsilon_0 V_0}{d}\left(\frac{a^2}{2}+\frac{1}{a^2}\cdot\frac{a^4}{4}\right) =2\pi\frac{\varepsilon_0 V_0}{d}\left(\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}\right) =2\pi\frac{\varepsilon_0 V_0}{d}\cdot\frac{3a^2}{4}.
Simplificando:
\boxed{Q=\frac{3}{2}\pi\varepsilon_0\frac{a^2}{d}\,V_0.}

Passo 10

(d) A capacitância C é a razão Q/V_0. Assim
\boxed{C=\frac{Q}{V_0}=\frac{3}{2}\pi\varepsilon_0\frac{a^2}{d}.}
Observação física: comparando com o capacitor plano usual C_{\text{plano}}=\pi\varepsilon_0 a^2/d, a variação da permissividade com \rho aumentou a capacitância em um fator 3/2 neste caso particular.

Resposta

(a) \mathbf{E}(\rho)= -\dfrac{V_0}{d}\,\hat{\mathbf{z}}.\n
(b) \sigma(\rho)=\varepsilon_0\!\left(1+\dfrac{\rho^2}{a^2}\right)\dfrac{V_0}{d} (planta superior; placa inferior com sinal oposto).\n
(c) Q=\dfrac{3}{2}\pi\varepsilon_0\dfrac{a^2}{d}\,V_0.\n
(d) C=\dfrac{3}{2}\pi\varepsilon_0\dfrac{a^2}{d}.

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