Valor: 2,5
Um capacitor de placas paralelas é feito utilizando-se duas placas circulares de raio a, com a placa inferior no plano x y, centrada na origem. A placa superior está posicionada em z=d, com seu centro no eixo z. A placa superior está em um potencial V_{0} e a placa inferior está aterrada. O dielétrico que preenche a região entre as placas apresenta uma permissividade que varia em função do raio e é dada por \varepsilon(\rho)= \varepsilon_{0}\left(1+\frac{\rho^{2}}{a^{2}}\right). Com base nessas informações, determine:
a) O campo elétrico no interior do capacitor;
b) A densidade do campo elétrico;
c) A quantidade de carga armazenada;
d) A capacitância.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo.\n
Duas placas paralelas circulares de raio a, separadas por uma distância d. A placa inferior está em z=0 e aterrada (potencial zero). A placa superior está em z=d com potencial V_0.\n
O dielétrico entre as placas tem permissividade dependente do raio \rho (coordenada cilíndrica) dada por \varepsilon(\rho)=\varepsilon_0\!\left(1+\dfrac{\rho^{2}}{a^{2}}\right).\n
O que se pede:\n
(a) o campo elétrico no interior do capacitor;\n
(b) a densidade do campo elétrico (interpreto aqui como a densidade superficial de carga livre nas placas, \sigma(\rho));\n
(c) a quantidade de carga armazenada Q;\n
(d) a capacitância C.
Passo 2
Vamos escolher um método. Pela simetria (placas circulares coaxiais, dielétrico dependente só de \rho, sem cargas livres no volume entre as placas) é natural usar o vetor deslocamento elétrico \mathbf{D} e a lei de Gauss para meios dielétricos:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{livre}}.
Como não há cargas livres no volume entre as placas, \rho_{\text{livre}}=0. Isso simplifica muito e permite achar \mathbf{D} e então \mathbf{E} via a relação constitutiva \mathbf{D}=\varepsilon(\rho)\mathbf{E}. Vou explicar cada passo com calma.
Passo 3
Escrevo a relação constitutiva entre deslocamento e campo:
Pela simetria axial e pelas placas planas esperamos que não haja componente radial média do deslocamento entre as placas, então D_\rho=0. Assim a expressão reduz a
\frac{\partial D_z}{\partial z}=0.
Isso diz que D_z não depende de z; pode depender de \rho somente: D_z=D_z(\rho). Em particular, o mesmo D_z(\rho) vale em qualquer plano z entre as placas.
Passo 5
A diferença de potencial entre as placas é dada por
V_0-0 = -\int_{0}^{d}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Tomando o eixo z para cima e \hat{\mathbf{z}} unitário, escrevemos \mathbf{E}=E_z(\rho)\,\hat{\mathbf{z}} (o campo é vertical). Como E_z independe de z (pois D_z independe de z e \varepsilon independe de z), o integral fica
Observe que o sinal negativo indica que o campo aponta no sentido -\hat{\mathbf{z}} (do potencial maior V_0 na placa superior para a placa inferior em 0).
Passo 6
Com E_z(\rho) conhecido e a relação \mathbf{D}=\varepsilon(\rho)\mathbf{E}, obtemos o deslocamento:
Breve interpretação: mesmo com \varepsilon variando com \rho, o potencial varia linearmente com z entre as placas e por isso \mathbf{E} é constante.
Passo 8
(b) A densidade superficial de carga livre na placa superior (em função de \rho) é dada pela condição de contorno de Gauss na interface condutor–dielétrico. A magnitude (sinal escolhido positivo para carga na placa superior) é
Observação física: comparando com o capacitor plano usual C_{\text{plano}}=\pi\varepsilon_0 a^2/d, a variação da permissividade com \rho aumentou a capacitância em um fator 3/2 neste caso particular.