Duas ondas senoidais idênticas com comprimentos de onda de 3,00 \mathrm{~m} viajam na mesma direção a uma velocidade de 2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A segunda onda se origina do mesmo ponto que a primeira, mas em um momento posterior. A amplitude da onda resultante é a mesma de cada uma das duas ondas iniciais. Determine o intervalo de tempo mínimo possível entre os momentos iniciais das duas ondas.
\begin{aligned} & y(x, t)=y_{m} \sin (k x-\omega t) \quad v=\sqrt{\frac{\tau}{\mu}} \quad P_{\text {avg }}=\frac{1}{2} \mu v \omega^{2} y_{m}^{2} \\\ & v=\frac{\omega}{k}=\frac{\lambda}{T}=\lambda f \\\ & y^{\prime}(x, t)=\left[2 y_{m} \cos \frac{1}{2} \varphi\right] \sin \left(k x-\omega t+\frac{1}{2} \varphi\right) \\\ & y^{\prime}(x, t)=\left[2 y_{m} \sin k x\right] \cos \omega t \\\ & f=\frac{v}{\lambda}=n \frac{v}{2 L}, \quad \text { for } n=1,2,3, \ldots \\\ & v=\sqrt{\frac{B}{\rho}} \quad \quad s=s_{m} \cos (k x-\omega t) \quad \Delta p_{m}=(v \rho \omega) s_{m} \\\ & \quad \Delta p=\Delta p_{m} \sin (k x-\omega t) \\\ & \varphi=m(2 \pi), \quad \text { for } m=0,1,2, \ldots, \quad \frac{\Delta L}{\lambda}=0,1,2, \ldots \\\ & \varphi=(2 m+1) \pi, \quad \text { for } m=0,1,2, \ldots \frac{\Delta L}{\lambda}=0.5,1 \mid .5,2.5, \ldots \\\ & I=\frac{P}{A} \quad \beta=(10 \mathrm{~dB}) \log \frac{I}{I_{0}} \quad f_{\text {beat }}=f_{1}-f_{2} \\\ & f=\frac{v}{\lambda}=\frac{n v}{2 L}, \quad n=1,2,3, \ldots \quad f^{\prime}=f \frac{v \pm v_{D}}{v \pm v_{\mathrm{F}}} \\\ & f=\frac{v}{\lambda}=\frac{n v}{4 L}, \quad n=1,3,5, \ldots \quad, \quad \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara:
  • Dado: comprimento de onda \lambda=3{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Dado: velocidade de propagação v=2{,}00\\ \mathrm{m/s}.
  • Dado: duas ondas senoidais idênticas (mesma amplitude y_{m}, mesma \lambda e mesma v), viajando na mesma direção.
  • Dado: a segunda onda parte do mesmo ponto que a primeira, mas num instante posterior; ou seja, existe um atraso temporal \Delta t entre os inícios.
  • Pedido: determinar o menor intervalo de tempo possível \Delta t>0 entre os instantes iniciais de emissão das duas ondas, sabendo que a amplitude da onda resultante (quando elas se somam) é igual à amplitude de cada onda individual ( y_{m}).
Informações úteis do enunciado (extras que aparecem no texto dado): forma geral de onda senoidal \;y(x,t)=y_{m}\sin(kx-\omega t)\; e identidade de soma que aparece entre as fórmulas.

Passo 2

Escrevemos explicitamente as duas ondas no mesmo referencial temporal e espacial.
  • A primeira onda (emitida no instante t=0) tem, num ponto x e tempo t,
y_{1}(x,t)=y_{m}\sin\bigl(kx-\omega t\bigr).
  • A segunda onda é idêntica mas foi emitida atrasada em \Delta t. Para um observador no ponto x e no mesmo tempo t, a fase temporal da segunda é a fase de uma onda que começou em t=\Delta t. Assim
y_{2}(x,t)=y_{m}\sin\bigl(kx-\omega (t-\Delta t)\bigr)=y_{m}\sin\bigl(kx-\omega t+\omega\Delta t\bigr).
Explicação didática: \omega é a velocidade angular da oscilação (em rad/s) e aparece multiplicando o tempo; atrasar a emissão em \Delta t equivale a adicionar \omega\Delta t na fase da segunda onda. A diferença de fase entre as duas ondas no mesmo x,t é, portanto,
\varphi=\omega\Delta t.

Passo 3

Somamos as duas ondas usando a identidade trigonométrica para soma de senos. A identidade é:
\sin A+\sin B = 2\sin\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
Aplicando com A=kx-\omega t e B=kx-\omega t+\varphi, obtemos
y_{\text{res}}(x,t)=y_{1}+y_{2}=2y_{m}\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\sin\!\left(kx-\omega t+\frac{\varphi}{2}\right).
Interpretação didática: a soma de duas senóides iguais, deslocadas em fase por \varphi, é outra senóide com a mesma frequência espacial/temporal, mas com amplitude igual a 2y_{m}\left|\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right|. O valor absoluto aparece porque amplitude é grandeza positiva; o sinal de \cos(\varphi/2) apenas desloca a fase em \pi se for negativo.
Portanto a amplitude efetiva da onda resultante é
Y_{\text{max}}=2y_{m}\left|\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right|.

Passo 4

A condição do enunciado é que a amplitude resultante seja igual à amplitude de cada onda individual:
Y_{\text{max}}=y_{m}.
Substituindo a expressão obtida:
2y_{m}\left|\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right|=y_{m}.
Simplificando (assumindo y_{m}\neq 0):
2\left|\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right|=1 \quad\Rightarrow\quad \left|\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right|=\tfrac{1}{2}.
Agora resolvemos para \varphi/2. As soluções básicas para \left|\cos\theta\right|=\tfrac{1}{2} são \theta=\tfrac{\pi}{3}+2\pi n ou \theta=\tfrac{2\pi}{3}+2\pi n, n inteiro. O menor valor positivo de \theta que satisfaz a equação é \theta=\tfrac{\pi}{3}. Portanto o menor valor positivo de \varphi é
\phi_{\min}=2\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.
Explicação didática: escolhemos a primeira solução positiva para obter o menor atraso de tempo possível; outras soluções correspondem a atrasos maiores (adicionando múltiplos de 2\pi na fase).

Passo 5

Agora convertemos \varphi em \Delta t usando a relação \varphi=\omega\Delta t. Precisamos do valor de \omega. Primeiro encontramos a frequência f a partir de v e \lambda:
f=\frac{v}{\lambda}=\frac{2{,}00}{3{,}00}=\frac{2}{3}\\ \mathrm{Hz}\approx 0{,}666\ldots\\ \mathrm{Hz}.
A pulsação (velocidade angular) é
\omega=2\pi f=2\pi\cdot\frac{2}{3}=\frac{4\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Calcule \Delta t com \phi_{\min}=\tfrac{2\pi}{3}:
\Delta t=\frac{\phi_{\min}}{\omega}=\frac{\tfrac{2\pi}{3}}{\tfrac{4\pi}{3}}=\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{3}{4\pi}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Portanto o menor intervalo de tempo possível é \Delta t=0{,}5\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Verificação rápida e intuição: com \Delta t=0{,}5\\ \mathrm{s} a diferença de fase é \varphi=\omega\Delta t=(4\pi/3)\cdot(1/2)=2\pi/3. Então \cos(\varphi/2)=\cos(\pi/3)=1/2 e Y_{\text{max}}=2y_{m}\cdot(1/2)=y_{m}, conforme pedido. Este é realmente o menor \Delta t>0 que produz essa condição; soluções adicionais seriam \Delta t maiores, correspondendo a somas de 2\pi à fase.

Resposta

0{,}500\\ \mathrm{s}

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