Duas ondas senoidais idênticas com comprimentos de onda de 3,00 \mathrm{~m} viajam na mesma direção a uma velocidade de 2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A segunda onda se origina do mesmo ponto que a primeira, mas em um momento posterior. A amplitude da onda resultante é a mesma de cada uma das duas ondas iniciais. Determine o intervalo de tempo mínimo possível entre os momentos iniciais das duas ondas.
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara:
Dado: comprimento de onda \lambda=3{,}00\\ \mathrm{m}.
Dado: velocidade de propagação v=2{,}00\\ \mathrm{m/s}.
Dado: duas ondas senoidais idênticas (mesma amplitude y_{m}, mesma \lambda e mesma v), viajando na mesma direção.
Dado: a segunda onda parte do mesmo ponto que a primeira, mas num instante posterior; ou seja, existe um atraso temporal \Delta t entre os inícios.
Pedido: determinar o menor intervalo de tempo possível \Delta t>0 entre os instantes iniciais de emissão das duas ondas, sabendo que a amplitude da onda resultante (quando elas se somam) é igual à amplitude de cada onda individual (y_{m}).
Informações úteis do enunciado (extras que aparecem no texto dado): forma geral de onda senoidal \;y(x,t)=y_{m}\sin(kx-\omega t)\; e identidade de soma que aparece entre as fórmulas.
Passo 2
Escrevemos explicitamente as duas ondas no mesmo referencial temporal e espacial.
A primeira onda (emitida no instante t=0) tem, num ponto x e tempo t,
y_{1}(x,t)=y_{m}\sin\bigl(kx-\omega t\bigr).
A segunda onda é idêntica mas foi emitida atrasada em \Delta t. Para um observador no ponto x e no mesmo tempo t, a fase temporal da segunda é a fase de uma onda que começou em t=\Delta t. Assim
Explicação didática: \omega é a velocidade angular da oscilação (em rad/s) e aparece multiplicando o tempo; atrasar a emissão em \Delta t equivale a adicionar \omega\Delta t na fase da segunda onda. A diferença de fase entre as duas ondas no mesmo x,t é, portanto,
\varphi=\omega\Delta t.
Passo 3
Somamos as duas ondas usando a identidade trigonométrica para soma de senos. A identidade é:
\sin A+\sin B = 2\sin\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
Aplicando com A=kx-\omega t e B=kx-\omega t+\varphi, obtemos
Interpretação didática: a soma de duas senóides iguais, deslocadas em fase por \varphi, é outra senóide com a mesma frequência espacial/temporal, mas com amplitude igual a 2y_{m}\left|\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right|. O valor absoluto aparece porque amplitude é grandeza positiva; o sinal de \cos(\varphi/2) apenas desloca a fase em \pi se for negativo.
Agora resolvemos para \varphi/2. As soluções básicas para \left|\cos\theta\right|=\tfrac{1}{2} são \theta=\tfrac{\pi}{3}+2\pi n ou \theta=\tfrac{2\pi}{3}+2\pi n, n inteiro. O menor valor positivo de \theta que satisfaz a equação é \theta=\tfrac{\pi}{3}. Portanto o menor valor positivo de \varphi é
\phi_{\min}=2\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.
Explicação didática: escolhemos a primeira solução positiva para obter o menor atraso de tempo possível; outras soluções correspondem a atrasos maiores (adicionando múltiplos de 2\pi na fase).
Passo 5
Agora convertemos \varphi em \Delta t usando a relação \varphi=\omega\Delta t. Precisamos do valor de \omega. Primeiro encontramos a frequência f a partir de v e \lambda:
Portanto o menor intervalo de tempo possível é \Delta t=0{,}5\\ \mathrm{s}.
Passo 7
Verificação rápida e intuição: com \Delta t=0{,}5\\ \mathrm{s} a diferença de fase é \varphi=\omega\Delta t=(4\pi/3)\cdot(1/2)=2\pi/3. Então \cos(\varphi/2)=\cos(\pi/3)=1/2 e Y_{\text{max}}=2y_{m}\cdot(1/2)=y_{m}, conforme pedido. Este é realmente o menor \Delta t>0 que produz essa condição; soluções adicionais seriam \Delta t maiores, correspondendo a somas de 2\pi à fase.