3- Em 1946, o químico estadunidense Willard Frank Libby inventou um método que usa o
para determinar a idade aproximada de tecidos biológicos (ossos, dentes, penas, etc), materias vegetais (madeira, carvão vegetal, sementes, etc) e artefatos humanos (roupas, cordas, pergaminhos, instrumentos musicais de madeira, etc). A teoria de datação por
se baseia no fato de que esse isótopo é produzido na atmosfera pela ação da radiação cósmica sobre o
, de maneira que
A razão da quantidade de
em relação ao
, que é estável, é constante na atmosfera. Assim, a quantidade proporcional de
presente em todos os organismos vivos é a mesma que a da atmosfera. Quando um organismo morre, cessa a absorção de
pela respiração (plantas) ou alimentação (animais, seres humanos). Comparando a quantidade proporcional de
presente em uma amostra biológica com a razão constante na atmosfera, é possível obter uma estimativa razoável da idade da amostra biológica. O método se baseia no fato de que a meia-vida do
é de 5730 anos com aplicação limitada a até cerca de dez meias-vidas do
( 57300 anos) e modelado matematicamente por uma equação diferencial linear de primeira ordem homogênea, cuja taxa de decaimento
é proporcional à quantidade de
no instante
, ou seja,
A quantidade inicial de
é conhecida, ou seja,
. Willard Frank Libby ganhou o Prêmio Nobel de Química em 1960 pelo desenvolvimento do método de datação por Carbono-14, revolucionando a arqueologia e paleontologia. Determine a idade de uma amostra biológica que contenha um centésimo da quantidade de
inicial.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a idade
de uma amostra biológica que contém um centésimo da quantidade inicial de
, ou seja,
.
Informações dadas e importantes:
A equação do decaimento é
e sua solução geral é
, com
.
A meia-vida (tempo em que a quantidade cai à metade) do
é
anos.
Queremos o tempo
tal que
.
Informações dadas e importantes:
Passo 2
Entendendo meia-vida e a constante
: a meia-vida é o tempo
em que a quantidade passa de
para
. Usamos a solução exponencial para relacionar
e
. Substituindo
e
em
obtemos a equação
Aplicando log natural, achamos
:
Comentário didático:
é o logaritmo natural;
é negativo, por isso
é negativo — o que faz sentido para decaimento.
Passo 3
Escrever a equação que determina
: queremos
. Cancelando
e aplicando log:
Usando propriedade dos logaritmos,
, então
.
Passo 4
Substituir
e isolar
. Como
, temos
Interpretação intuitiva (forma alternativa mais simples): depois de
meias-vidas a fração restante é
. Queremos
, então
meias-vidas e
. Ambas as formas são equivalentes.
Passo 5
Calcular numericamente
. Usando mudança de base
. Conhecendo
, obtemos
Multiplicando por
:
Arredondando de forma prática para a prova, podemos dizer aproximadamente
anos ou
anos (aprox.).
Passo 6
Resumo do método (para usar na prova):
Identifique que é decaimento exponencial:
.
Use a meia-vida para obter
via
.
Resolva
para
, ou mais rapidamente conte quantas meias-vidas são necessárias:
e
.
Comentário de incentivo: essa segunda forma (contar meias-vidas) é rápida e segura na prova — lembra que cada meia-vida divide a quantidade por 2.
Comentário de incentivo: essa segunda forma (contar meias-vidas) é rápida e segura na prova — lembra que cada meia-vida divide a quantidade por 2.