3- Em 1946, o químico estadunidense Willard Frank Libby inventou um método que usa o { }_{6}^{14} \mathrm{C} para determinar a idade aproximada de tecidos biológicos (ossos, dentes, penas, etc), materias vegetais (madeira, carvão vegetal, sementes, etc) e artefatos humanos (roupas, cordas, pergaminhos, instrumentos musicais de madeira, etc). A teoria de datação por { }_{6}^{14} \mathrm{C} se baseia no fato de que esse isótopo é produzido na atmosfera pela ação da radiação cósmica sobre o { }_{7}^{14} \mathrm{~N}, de maneira que
{ }_{7}^{14} \mathrm{~N}+{ }_{0}^{1} n \longrightarrow{ }_{6}^{14} \mathrm{C}+{ }_{1}^{1} p
A razão da quantidade de { }_{6}^{14} \mathrm{C} em relação ao { }_{6}^{12} \mathrm{C}, que é estável, é constante na atmosfera. Assim, a quantidade proporcional de { }_{6}^{14} \mathrm{C} presente em todos os organismos vivos é a mesma que a da atmosfera. Quando um organismo morre, cessa a absorção de { }_{6}^{14} \mathrm{C} pela respiração (plantas) ou alimentação (animais, seres humanos). Comparando a quantidade proporcional de { }_{6}^{14} \mathrm{C} presente em uma amostra biológica com a razão constante na atmosfera, é possível obter uma estimativa razoável da idade da amostra biológica. O método se baseia no fato de que a meia-vida do { }_{6}^{14} \mathrm{C} é de 5730 anos com aplicação limitada a até cerca de dez meias-vidas do { }_{6}^{14} \mathrm{C} ( 57300 anos) e modelado matematicamente por uma equação diferencial linear de primeira ordem homogênea, cuja taxa de decaimento \alpha é proporcional à quantidade de { }_{6}^{14} \mathrm{C} no instante t, ou seja,
\frac{d x(t)}{d t}=\alpha x(t) \Rightarrow x(t)=x_{0} e^{\alpha t}
A quantidade inicial de { }_{6}^{14} \mathrm{C} é conhecida, ou seja, x(0)=x_{0}. Willard Frank Libby ganhou o Prêmio Nobel de Química em 1960 pelo desenvolvimento do método de datação por Carbono-14, revolucionando a arqueologia e paleontologia. Determine a idade de uma amostra biológica que contenha um centésimo da quantidade de { }_{6}^{14} \mathrm{C} inicial.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a idade t de uma amostra biológica que contém um centésimo da quantidade inicial de {}_{6}^{14}\mathrm{C}, ou seja, x(t)=\dfrac{x_{0}}{100}.
Informações dadas e importantes:
1. A equação do decaimento é \dfrac{dx(t)}{dt}=\alpha x(t) e sua solução geral é x(t)=x_{0}e^{\alpha t}, com x(0)=x_{0}.
2. A meia-vida (tempo em que a quantidade cai à metade) do {}_{6}^{14}\mathrm{C} é T_{1/2}=5730 anos.
3. Queremos o tempo t tal que x(t)=\dfrac{x_{0}}{100}.

Passo 2

Entendendo meia-vida e a constante \alpha: a meia-vida é o tempo T_{1/2} em que a quantidade passa de x_{0} para x_{0}/2. Usamos a solução exponencial para relacionar \alpha e T_{1/2}. Substituindo t=T_{1/2} e x(T_{1/2})=x_{0}/2 em x(t)=x_{0}e^{\alpha t} obtemos a equação
e^{\alpha T_{1/2}}=\frac{1}{2}.
Aplicando log natural, achamos \alpha:
\alpha=\frac{\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}{T_{1/2}}=\frac{-\ln 2}{5730}.
Comentário didático: \ln é o logaritmo natural; \ln(\tfrac{1}{2}) é negativo, por isso \alpha é negativo — o que faz sentido para decaimento.

Passo 3

Escrever a equação que determina t: queremos x_{0}e^{\alpha t}=\dfrac{x_{0}}{100}. Cancelando x_{0} e aplicando log:
e^{\alpha t}=\frac{1}{100}\quad\Rightarrow\quad \alpha t=\ln\!\left(\frac{1}{100}\right)=-\ln 100.
Usando propriedade dos logaritmos, \ln 100=\ln(10^{2})=2\ln 10, então \alpha t=-2\ln 10.

Passo 4

Substituir \alpha e isolar t. Como \alpha=-\dfrac{\ln 2}{5730}, temos
t=\frac{-2\ln 10}{\alpha}=\frac{-2\ln 10}{-\dfrac{\ln 2}{5730}}=5730\cdot\frac{2\ln 10}{\ln 2}.
Interpretação intuitiva (forma alternativa mais simples): depois de n meias-vidas a fração restante é (\tfrac{1}{2})^{n}. Queremos (\tfrac{1}{2})^{n}=\tfrac{1}{100}, então n=\log_{2}100 meias-vidas e t=nT_{1/2}=5730\log_{2}100. Ambas as formas são equivalentes.

Passo 5

Calcular numericamente t. Usando mudança de base \log_{2}100=\dfrac{\ln 100}{\ln 2}=\dfrac{2\ln 10}{\ln 2}. Conhecendo \dfrac{\ln 10}{\ln 2}\approx 3{,}321928, obtemos
\log_{2}100\approx 6{,}643856.
Multiplicando por 5730:
t\approx 5730\times 6{,}643856 \approx 38069{,}3\\ \text{anos}.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos dizer aproximadamente 3{,}81\times 10^{4} anos ou 38{,}070 anos (aprox.).

Passo 6

Resumo do método (para usar na prova):
1. Identifique que é decaimento exponencial: x(t)=x_{0}e^{\alpha t}.
2. Use a meia-vida para obter \alpha via \alpha=\dfrac{\ln(1/2)}{T_{1/2}}.
3. Resolva x_{0}e^{\alpha t}=x_{0}/100 para t, ou mais rapidamente conte quantas meias-vidas são necessárias: n=\log_{2}(100) e t=nT_{1/2}.
Comentário de incentivo: essa segunda forma (contar meias-vidas) é rápida e segura na prova — lembra que cada meia-vida divide a quantidade por 2.

Resposta

\approx 3{,}807\times 10^{4}\\ \text{anos}

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