2- A meia-vida de um elemento radioativo é o tempo necessário para que metade da quantidade inicial deste elemento em uma amostra transmute em outro elemento, sendo modelado matematicamente por uma equação diferencial linear de primeira ordem homogênea, cuja taxa de decaimento \alpha é proporcional à quantidade do elemento no instante t, ou seja,
\frac{d x(t)}{d t}=\alpha x(t) \Rightarrow x(t)=x_{0} e^{\alpha t}
A quantidade inicial desse elemento radioativo é conhecida, ou seja, x(0)=x_{0}. Determine a meia-vida do { }_{94}^{239} \mathrm{Pu}, sabendo que 0,04311 \% da quantidade inicial de { }_{94}^{239} \mathrm{Pu} dessa amostra transmuta em { }_{95}^{239} \mathrm{Am} em 15 anos por decaimento beta negativo, de maneira que
{ }_{94}^{239} \mathrm{Pu} \longrightarrow{ }_{95}^{239} \mathrm{Am}+\beta^{-}+\bar{\nu}_{e}
na qual \beta^{-}e \bar{\nu}_{e} são, respectivamente, um elétron e um antineutrino eletrônico emitidos.

Passo 1

O enunciado dá o modelo de decaimento exponencial e pede a meia-vida do { }_{94}^{239}\mathrm{Pu}. Dados e perguntas claramente identificados:
  • Modelo diferencial dado: \displaystyle \frac{d x(t)}{d t}=\alpha x(t) com solução \displaystyle x(t)=x_{0}e^{\alpha t}.
  • Condição inicial: x(0)=x_{0} (quantidade inicial conhecida).
  • Informação experimental: em 15 anos, transmutou 0,04311\% da quantidade inicial de { }_{94}^{239}\mathrm{Pu}.
  • O enunciado pergunta: determinar a meia-vida do { }_{94}^{239}\mathrm{Pu} (ou seja, o tempo necessário para a quantidade cair à metade).

Passo 2

Interpretação matemática da informação experimental e conversão de percentuais:
  • A fração transmutada em 15 anos é \displaystyle 0,04311\%. Em forma decimal isso é
0,04311\% = 0,0004311.
  • Portanto a fração REMANESCENTE da amostra após 15 anos é
\text{fração restante} = 1 - 0,0004311 = 0,9995689.çã
  • Pela solução do modelo, a fração restante também é \displaystyle \frac{x(15)}{x_{0}}=e^{\alpha\cdot 15}. Logo devemos ter
e^{15\alpha}=0,9995689.

Passo 3

Isolando \alpha usando logaritmos (aula rápida sobre logaritmos):
  • Para resolver e^{15\alpha}=0,9995689 aplicamos o logaritmo natural (função inversa da exponencial). Propriedade usada: \ln(e^{y})=y.
  • Assim
15\alpha=\ln(0,9995689).
  • Logo
\alpha=\frac{1}{15}\ln(0,9995689).
  • Explicação didática: \ln transforma o produto/exponencial em multiplicação/adição, permitindo isolar o parâmetro \alpha. Como 0,9995689<1, teremos \ln(0,9995689)<0, então \alpha<0, que faz sentido para decaimento.

Passo 4

Definição da meia-vida e sua relação com \alpha (aula rápida sobre meia-vida):
  • Meia-vida T_{1/2} é o tempo tal que x(T_{1/2})=\dfrac{x_{0}}{2}.
  • Usando x(t)=x_{0}e^{\alpha t} temos
\frac{x_{0}}{2}=x_{0}e^{\alpha T_{1/2}} \quad\Rightarrow\quad e^{\alpha T_{1/2}}=\frac{1}{2}.
  • Aplicando \ln,
\alpha T_{1/2}=\ln\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2.
  • Portanto a fórmula prática é
T_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\alpha}=\frac{-\ln 2}{\alpha}.
  • Observação didática: como \alpha<0, o quociente \dfrac{-\ln 2}{\alpha} é positivo, dando um tempo positivo.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo (sem pular contas):
  • Primeiro compute \ln(0,9995689). Para precisão suficiente usamos a expansão ou uma calculadora mental aproximada; obtém-se
\ln(0,9995689)\approx -0,000431192925.
  • Logo
\alpha=\frac{1}{15}\ln(0,9995689)\approx\frac{-0,000431192925}{15}\approx -0,000028746195\\ \text{ano}^{-1}.
  • Agora calcule T_{1/2} usando T_{1/2}=\dfrac{-\ln 2}{\alpha}:
T_{1/2}=\frac{0,69314718056}{0,000028746195}\approx 24112{,}658\\ \text{anos}.
  • Arredondando de forma razoável (dados iniciais têm cinco casas significativas na porcentagem, mas a medida é muito pequena; apresentar um valor arredondado com 4 algarismos é adequado):
T_{1/2}\approx 24113\\ \text{anos}.

Resposta

T_{1/2}\approx 24113\\ \text{anos}

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