2- A meia-vida de um elemento radioativo é o tempo necessário para que metade da quantidade inicial deste elemento em uma amostra transmute em outro elemento, sendo modelado matematicamente por uma equação diferencial linear de primeira ordem homogênea, cuja taxa de decaimento
é proporcional à quantidade do elemento no instante
, ou seja,
A quantidade inicial desse elemento radioativo é conhecida, ou seja,
. Determine a meia-vida do
, sabendo que
da quantidade inicial de
dessa amostra transmuta em
em 15 anos por decaimento beta negativo, de maneira que
na qual
e
são, respectivamente, um elétron e um antineutrino eletrônico emitidos.
Passo 1
O enunciado dá o modelo de decaimento exponencial e pede a meia-vida do
. Dados e perguntas claramente identificados:
- Modelo diferencial dado:
com solução . - Condição inicial:
(quantidade inicial conhecida). - Informação experimental: em
anos, transmutou da quantidade inicial de . - O enunciado pergunta: determinar a meia-vida do
(ou seja, o tempo necessário para a quantidade cair à metade).
Passo 2
Interpretação matemática da informação experimental e conversão de percentuais:
- A fração transmutada em
anos é Em forma decimal isso é
- Portanto a fração REMANESCENTE da amostra após
anos é
- Pela solução do modelo, a fração restante também é
Logo devemos ter
Passo 3
Isolando
usando logaritmos (aula rápida sobre logaritmos):
- Para resolver
aplicamos o logaritmo natural (função inversa da exponencial). Propriedade usada: . - Assim
- Logo
- Explicação didática:
transforma o produto/exponencial em multiplicação/adição, permitindo isolar o parâmetro . Como , teremos , então , que faz sentido para decaimento.
Passo 4
Definição da meia-vida e sua relação com
(aula rápida sobre meia-vida):
- Meia-vida
é o tempo tal que - Usando
temos
- Aplicando
,
- Portanto a fórmula prática é
- Observação didática: como
, o quociente é positivo, dando um tempo positivo.
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo (sem pular contas):
- Primeiro compute
. Para precisão suficiente usamos a expansão ou uma calculadora mental aproximada; obtém-se
- Logo
- Agora calcule
usando :
- Arredondando de forma razoável (dados iniciais têm cinco casas significativas na porcentagem, mas a medida é muito pequena; apresentar um valor arredondado com 4 algarismos é adequado):