Questão 01) O rendimento de produto desejado (componente B) num reator tipo tanque agitado operando em regime contínuo deve ser maximidado na região de operação em regime estacionário.
Objetivos: As condições de operação que resultem na maior concentração do produto desejado, componente B, devem ser determinadas para dois casos:
a)A razão entre o volume e o fluxo de alimentação pode ser variado (V/F) de 0 até 1.0 , com a temperatura constante e em 330 K .
b) A razão de alientação e a temperatura (300 até 360 K ) podem ser variados.

Informações:

  1. O calor de reação e o trabalho podem ser considerados desprezíveis.
  2. O volume do reator é constante e o seu conteúdo perfeitamente agitado.
  3. A temperatura entre 300 e 360 K pode ser atingida e mantida constante pelo ajuste do fluxo de calor fornecido ao reator, a um custo desprezível.
  4. A reação química é:
A \rightarrow B \rightarrow C
A condições operacionais são:
\mathrm{C}_{\text {Ao }}=3,0 \mathrm{~mol} / \mathrm{m}^{3}
\mathrm{E}_{1} / \mathrm{R}=3000 \mathrm{~K}
\mathrm{E}_{2} / \mathrm{R}=4000 \mathrm{~K}
r_{A}=-k_{10} C_{A} e^{-\left[E_{1} / R T\right]}
\mathrm{K}_{10}=17748,5 \mathrm{~min}^{-1}
\mathrm{K}_{20}=643048 \mathrm{~min}^{-1}
r_{c}=-k_{20} C_{B} e^{-\left[E_{2} / R T\right]}
\mathrm{V}= volume, \mathrm{m}^{3}
F = vazão

Pede-se:

  1. A solução do problema, com a determinação do ponto máximo de produção de B.
  2. A determinação da razão V / F em que o o ponto máximo de produção é atingido.
  3. O gráfico da concentração de B versus \mathrm{V} / \mathrm{F}.
  4. O gráfico de V / F versus a temperatura do reator mostrando as curvas de contorno (produção de \mathrm{C}_{\mathrm{B}} ).

Passo 1

O enunciado pede que a concentração do produto desejado (componente B) em um reator tipo tanque agitado, em regime estacionário, seja maximizada. Precisamos tratar dois casos: (a) variando a razão V/F entre 0 e 1{,}0 com a temperatura fixa em 330\\ \mathrm{K}; (b) variando simultaneamente a razão V/F (presumo aqui também no intervalo 0 a 1{,}0) e a temperatura no intervalo 300 a 360\\ \mathrm{K}.\n\nInformações dadas (vou listar todas em forma matemática para não perder nada):\n\n \;C_{A0}=3{,}0\\ \mathrm{mol/m^{3}}\n\n \;E_1/R = 3000\\ \mathrm{K}\n\n \;E_2/R = 4000\\ \mathrm{K}\n\n \;k_1(T) = k_{10}\,\exp\!\big(-E_1/(R T)\big) com k_{10}=17748{,}5\\ \mathrm{min^{-1}}\n\n \;k_2(T) = k_{20}\,\exp\!\big(-E_2/(R T)\big) com k_{20}=643048\\ \mathrm{min^{-1}}\n\nReação: \;A \rightarrow B \rightarrow C.\n\nAs taxas dadas no enunciado foram escritas como r_A = -k_{10} C_A e^{-E_1/(R T)} e r_C = -k_{20} C_B e^{-E_2/(R T)}. Vou chamar simplesmente k_1(T) e k_2(T) como definido acima.\n\nO que o enunciado pede especificamente (resumindo em perguntas):\n\n1) Encontrar a solução analítica do problema e determinar o ponto de máximo de produção de B.\n2) Determinar a razão V/F em que esse ponto máximo ocorre (para os casos pedidos).\n3) Fazer o gráfico da concentração de B versus V/F (vou fornecer pontos e instruções para plotagem).\n4) Fazer o gráfico de V/F versus temperatura mostrando curvas de contorno (níveis) de produção de C_B (vou derivar as expressões e dar tabelas/curvas de referência para traçar o contorno).\n\nNenhuma outra informação adicional foi fornecida — vamos usar as hipóteses de tanque perfeitamente agitado e regime estacionário para montar balanços de massa.

Passo 2

Montagem do balanço de massa estacionário para um CSTR (tanque perfeitamente agitado) — explicação didática do que cada termo significa:\n\nNum CSTR em regime estacionário, para qualquer espécie i o balanço é: entrada menos saída mais geração por reação igual a zero. Em termos de concentração e tempo de residência \tau = V/F (unidade de tempo):\n\n- Vazão mássica por volume é F/V = 1/\tau.\n- Termo entrada-saída para A: (C_{A0}-C_A)/\tau.\n- Termo geração/consumo por reação é a taxa r_A (mol/m^3·min).\n\nPortanto para A em estado estacionário:\n \frac{C_{A0}-C_A}{\tau} + r_A = 0.\nAqui r_A = -k_1(T) C_A (consumo de A), então substituindo:\n \frac{C_{A0}-C_A}{\tau} - k_1 C_A = 0.\nIsolando C_A:\n \;C_A(1 + \tau k_1) = C_{A0}\quad\Rightarrow\quad C_A = \frac{C_{A0}}{1+\tau k_1}.\n\nAgora o balanço para B: formação por conversão de A menos consumo para C e saída por fluxo:\n \frac{0 - C_B}{\tau} + (\text{formação de }B\\ \text{por }A\to B) + (\text{outros}) = 0.çã\nA formação é +k_1 C_A (primeira reação) e o consumo é -k_2 C_B. Portanto:\n -\frac{C_B}{\tau} + k_1 C_A - k_2 C_B = 0.\nAgrupando os termos em C_B:\n (k_2 + 1/\tau) C_B = k_1 C_A.\nIsolando C_B:\n \;C_B = \frac{k_1 C_A}{k_2 + 1/\tau}.\nSubstituindo C_A obtido acima:\n \;C_B(\tau,T) = \frac{\tau k_1(T)\, C_{A0}}{(1 + \tau k_1(T))(1 + \tau k_2(T))}.\n\nEssa é a expressão fundamental que vamos maximizar. Observação: \tau = V/F tem dimensão de tempo (min, dado que k tem \mathrm{min^{-1}}).

Passo 3

Análise da expressão e preparação para otimização (vou torná-la mais simples para manipular):\n\nDefina para legibilidade a = k_1(T) e b = k_2(T). Então\n \;C_B(\tau) = C_{A0}\,\frac{\tau a}{(1+\tau a)(1+\tau b)}.\n\nQueremos encontrar o \tau que maximiza C_B para um T fixo (caso (a)), ou analisar como esse máximo se move quando mudamos T (caso (b)). A maneira natural é derivar C_B em relação a \tau, igualar a zero e resolver para \tau. Vou fazer isso passo a passo, com cuidado nas contas.

Passo 4

Derivada e condição de máximo (cálculo explícito):\n\nEscrevendo N(\tau)=\tau a e D(\tau)=(1+\tau a)(1+\tau b), temos C_B = C_{A0}\,N/D. A derivada (regra do quociente) é proporcional a\n \;N' D - N D' = 0\quad\Rightarrow\quad a D - \tau a D' = 0.\nDividindo por a (positivo) obtemos\n \;D - \tau D' = 0.\nCalcule D e D':\n \;D = 1 + (a+b)\tau + a b \tau^2.\n \;D' = (a+b) + 2 a b \tau.\nSubstituindo em D - \tau D' = 0:\n \;1 + (a+b)\tau + a b \tau^2 - \tau\big((a+b) + 2 a b \tau\big) = 0.\nAo simplificar, os termos lineares em \tau cancelam e sobra:\n \;1 - a b \tau^2 = 0.\nLogo a condição crítica é\n \;\tau^2 = \frac{1}{a b} \quad\Rightarrow\quad \tau^* = \frac{1}{\sqrt{a b}} = \frac{1}{\sqrt{k_1(T)\,k_2(T)}}.\n\nInterpretação e verificação: esse \tau^* é positivo; a segunda derivada (ou análise de comportamento para \tau\to 0 e \tau\to\infty) mostra que esse ponto é máximo: para \tau\to 0, C_B\sim \tau a C_{A0}\to 0; para \tau\to\infty, C_B\sim C_{A0}/(\tau b)\to 0. Há, portanto, um pico interno e ele ocorre em \tau^* = 1/\sqrt{k_1 k_2}.\n\nSubstituindo \tau^* na expressão de C_B obtemos o máximo máximo (para um dado T):\n \;C_B^{\mathrm{max}}(T) \;=\; C_{A0}\,\frac{k_1(T)}{\big(\sqrt{k_1(T)} + \sqrt{k_2(T)}\big)^2}.\n(Deduzi: ao substituir e simplificar aparece essa forma elegante; detalhe: \tau^* k_1 = \sqrt{k_1/k_2}, etc., que leva à forma acima.)

Passo 5

Caso (a): cálculo numérico para T=330\\ \mathrm{K} — calcular k_1, k_2, \tau^* e C_B^{\max} passo a passo.\n\nPrimeiro calcule as constantes cinéticas à temperatura T=330\\ \mathrm{K}:\n \;k_1(330) = k_{10}\,\exp\!\big(-\tfrac{E_1}{R\cdot 330}\big) = 17748{,}5\\ \exp\!\big(-\tfrac{3000}{330}\big).\nCalcule o expoente: \,-3000/330 \approx -9{,}0909. Então\n \;\exp(-9{,}0909)\approx 1{,}127\times 10^{-4}.\nMultiplicando: \;k_1(330)\approx 17748{,}5\times 1{,}127\times 10^{-4}\approx 2{,}00\\ \mathrm{min^{-1}}.\n\nAgora k_2:\n \;k_2(330) = 643048\\ \exp\!\big(-\tfrac{4000}{330}\big).\nExpoente: -4000/330 \approx -12{,}1212. Então\n \;\exp(-12{,}1212)\approx 5{,}44\times 10^{-6}.\nMultiplicando: \;k_2(330)\approx 643048\times 5{,}44\times 10^{-6}\approx 3{,}50\\ \mathrm{min^{-1}}.\n\nAgora calcule \tau^*:\n \;\tau^* = \frac{1}{\sqrt{k_1 k_2}} = \frac{1}{\sqrt{2{,}00\times 3{,}50}} = \frac{1}{\sqrt{7{,}00}}\approx 0{,}378\\ \text{(min)}.\n\nE o C_B^{\max} correspondente (usar C_{A0}=3{,}0):\n \;C_B^{\max}(330) = 3{,}0\; \frac{2{,}00}{(\sqrt{2{,}00}+\sqrt{3{,}50})^2}\approx 0{,}556\\ \mathrm{mol/m^{3}}.

Passo 6

Gráfico de C_B versus V/F para T=330\\ \mathrm{K}: tabela de pontos e forma geral da curva (instruções de plotagem)\n\nA expressão para plotar é\n \;C_B(\tau) = 3{,}0\,\frac{\tau\times 2{,}00}{(1+\tau\times 2{,}00)(1+\tau\times 3{,}50)}\quad\text{(para \(T=330\\ K\)).}\nVou fornecer alguns pontos úteis (arredondados) para traçar o gráfico entre \tau=0 e \tau=1:\n\n \tau = 0{,}0 \Rightarrow C_B = 0{,}000\n\n \tau = 0{,}1 \Rightarrow C_B \approx 0{,}371\n\n \tau = 0{,}2 \Rightarrow C_B \approx 0{,}504\n\n \tau = 0{,}378\\ (\text{óptimo}) \Rightarrow C_B \approx 0{,}556ó\n\n \tau = 0{,}5 \Rightarrow C_B \approx 0{,}546\n\n \tau = 0{,}8 \Rightarrow C_B \approx 0{,}486\n\n \tau = 1{,}0 \Rightarrow C_B \approx 0{,}445\n\nComo interpretar: a curva sobe quase linearmente para \tau pequeno, atinge um máximo em \tau\approx 0{,}378 e depois decai assintoticamente a zero quando \tau\to\infty. No intervalo 0 1 aparece claramente o pico interno em 0{,}378. Para desenhar: ligar os pontos suavemente; o máximo é interno e bem definido.

Passo 7

Caso (b): variação simultânea de \tau\) e \(T\) (300 a 360 K) — análise de contornos e máximo global no domínio pedido.\n\nPrimeiro escrevemos \(\tau^*\) como função de \(T\) explicitamente, usando \(k_1=k_{10} e^{-E_1/(R T)}\) e \(k_2=k_{20} e^{-E_2/(R T)}\):\n\[\; \tau^*(T) = \frac{1}{\sqrt{k_1 k_2}} = \frac{1}{\sqrt{k_{10} k_{20}}}\exp\!\Big(\frac{E_1+E_2}{2 R T}\Big).\nNote que E_1+E_2 = (E_1/R + E_2/R)\times R = (3000+4000)\,R = 7000\,R, e por isso a expressão se reduz a\n \;\tau^*(T) = \frac{1}{\sqrt{k_{10} k_{20}}}\,\exp\!\Big(\frac{3500}{T}\Big)\quad\text{(com \(T\) em K).}\n(Usei 3500/T porque é (E_1+E_2)/(2R T) e como nos deram E_i/R em kelvin, fica mais simples assim.)\n\nHá uma consideração prática: estamos limitando \tau ao intervalo 0 a 1{,}0. Se para um dado T a \tau^*(T) \le 1, o máximo interno está dentro do intervalo e o ponto ótimo será \tau^*. Se \tau^*(T) > 1, a função C_B(\tau) é crescente em \tau no intervalo 0 1 (pois o pico está além de 1), logo o máximo dentro do intervalo ocorre no limite superior \tau=1.\n\nLogo, para cada T devemos comparar \tau^*(T) com 1.\n\nCalcule o T limiar tal que \tau^*(T)=1. A condição é\n \;1 = \frac{1}{\sqrt{k_{10} k_{20}}}\exp\!\Big(\frac{3500}{T}\Big)\quad\Rightarrow\quad \frac{3500}{T} = \ln\big(\sqrt{k_{10} k_{20}}\big).\nAssim\n \;T_{\text{lim}} = \frac{3500}{\ln\!\big(\sqrt{k_{10} k_{20}}\big)}.\nCalculando numericamente (passo a passo):\n \ln k_{10}\approx \ln 17748{,}5\approx 9{,}784, \ln k_{20}\approx \ln 643048\approx 13{,}374. Soma =23{,}158, metade =11{,}579. Assim\n \;T_{\text{lim}}\approx \frac{3500}{11{,}579}\approx 302{,}1\\ \mathrm{K}.\nInterpretação: para T \gtrsim 302{,}1\\ \mathrm{K} temos \tau^*(T) \le 1 e o máximo admissível no intervalo 0 1 é \tau^*(T); para T\lesssim 302{,}1\\ \mathrm{K} temos \tau^*(T) > 1 e o máximo admissível (dentro de 0\le\tau\le1) ocorre em \tau=1.\n\nAgora avalie a função objetivo máxima admissível G(T) definida como\n \;G(T) = \begin{cases} C_B(\tau^*(T),T) & \text{se }\tau^*(T)\le 1,\\[4pt] C_B(\tau=1,T) & \text{se }\tau^*(T)>1.\end{cases}\nCalcule alguns valores representativos:\n\nPara T=300\\ \mathrm{K}\]: calculei antes aproximadamente \(k_1\approx 0{,}806, k_2\approx 1{,}035. Aqui \tau^*(300)=1{,}095>1, então máximo admissível em \tau=1. Com \tau=1:\n \;C_B(\tau=1,T=300)\approx 0{,}658\\ \mathrm{mol/m^{3}}.\n\nPara T=330\\ \mathrm{K} já tínhamos: \tau^*(330)\approx 0{,}378\le 1, e\n \;C_B^{\max}(330)\approx 0{,}556\\ \mathrm{mol/m^{3}}.\n\nPara T=360\\ \mathrm{K}: calculei k_1\approx 4{,}294, k_2\approx 9{,}582, então \tau^*(360)\approx 0{,}156 e\n \;C_B^{\max}(360)\approx 0{,}482\\ \mathrm{mol/m^{3}}.\n\nObservação: G(T) decresce com aumento de T dentro do intervalo considerado — portanto o maior valor admissível de C_B dentro do domínio 300\le T\le 360, 0\le \tau\le 1 ocorre no menor T permitido (isto é, T=300\\ \mathrm{K}) e com \tau no limite superior ( \tau=1) porque para T=300 o \tau^* ótimo está fora do intervalo para a direita.\n\nConclusão prática para (b): o máximo global no domínio T\in[300,360] e \tau\in[0,1] é em T=300\\ \mathrm{K} e \tau=1{,}0, com C_B\approx 0{,}658\\ \mathrm{mol/m^{3}}.]

Passo 8

Como construir o gráfico de contornos ( \tau versus T com curvas de nível de C_B) — instruções práticas e pontos de referência\n\nExpressão para avaliação rápida em uma malha (usar software de plot, por exemplo Python/Matlab/Excel):\n \;C_B(\tau,T) = 3{,}0\;\frac{\tau\,k_1(T)}{(1+\tau k_1(T))(1+\tau k_2(T))}\ncom\n \;k_1(T) = 17748{,}5\exp\!\big(-\tfrac{3000}{T}\big),\qquad k_2(T) = 643048\exp\!\big(-\tfrac{4000}{T}\big).\n\nSugestão prática para traçar contornos: gerar uma grade em T de 300 a 360 (por exemplo 61 pontos) e em \tau de 0 a 1{,}0 (por exemplo 101 pontos). Avaliar C_B na malha e desenhar curvas de contorno para níveis, por exemplo, C_B = 0{,}2,\;0{,}3,\;0{,}4,\;0{,}5,\;0{,}6. Dois traços úteis a desenhar na mesma figura:\n\n- A curva \tau^*(T) dada por \tau^*(T)=1/\sqrt{k_1(T)k_2(T)} — traçada somente onde \tau^*(T)\le 1.\n- A linha vertical T=300 e o ponto (\tau=1,T=300) marcado como o máximo global no domínio pedido.\n\nAlgumas coordenadas de referência (aproximadas) que podem ser desenhadas sobre os contornos:\n\n \;T=300:\\ \tau^*\approx 1{,}095 (fuera do intervalo), C_B(\tau=1)\approx 0{,}658.\n\n \;T=302{,}1:\\ \tau^* \approx 1{,}0 (limiar entre comportamento interno e limite).\n\n \;T=330:\\ \tau^*\approx 0{,}378,\\ C_B^{\max}\approx 0{,}556.\n\n \;T=360:\\ \tau^*\approx 0{,}156,\\ C_B^{\max}\approx 0{,}482.\n\nCom esses pontos e a malha, você obtém o gráfico de contornos pedido; a curva \tau^*(T) mostrará onde o pico interno se localiza e a região T\lesssim 302{,}1 mostrará que o máximo admissível está na borda \tau=1.

Passo 9

Resumo interpretativo, recomendações operacionais e verificação rápida (empatia e incentivo):\n\n- Para uma temperatura fixa em 330\\ \mathrm{K} (caso (a)) existe um ótimo interno de \tau (ou V/F) que maximiza C_B: \tau^*\approx 0{,}378. Operar nessa razão maximiza a produção de B naquele T.\n- Quando é possível ajustar T entre 300 e 360\\ \mathrm{K} (caso (b)), o maior C_B dentro do domínio permitido ocorre no ponto de menor temperatura T=300\\ \mathrm{K} com a maior razão V/F permitida \tau=1{,}0 (porque o \tau^* teórico para T=300 é maior que 1).\n\nDica motivacional: isso faz sentido fisicamente porque reações consecutivas com segunda etapa rápida (ou não tão lenta) muitas vezes pedem maiores tempos de residência a temperaturas mais baixas para acumular B antes que ele se consuma para C — a matemática da otimização captura isso de forma direta.

Resposta

(a) Para T=330\\ \mathrm{K}: \;V/F=\tau^*=\dfrac{1}{\sqrt{k_1 k_2}}\approx 0{,}378 e \;C_B^{\max}\approx 0{,}556\\ \mathrm{mol/m^{3}}.\n(b) Para \(T variando em [300,360]\\ \mathrm{K} e \;V/F\in[0,1]: o máximo global no domínio ocorre em T=300\\ \mathrm{K} e V/F=1{,}0, com \;C_B\approx 0{,}658\\ \mathrm{mol/m^{3}}.\n\nExpressão geral útil: \(\;C_B(\tau,T)=C_{A0}\dfrac{\tau k_1(T)}{(1+\tau k_1(T))(1+\tau k_2(T))} e \;\tau^*(T)=1/\sqrt{k_1(T)k_2(T)}.)

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