Questão 01) O rendimento de produto desejado (componente B) num reator tipo tanque agitado operando em regime contínuo deve ser maximidado na região de operação em regime estacionário.
Objetivos: As condições de operação que resultem na maior concentração do produto desejado, componente B, devem ser determinadas para dois casos:
a)A razão entre o volume e o fluxo de alimentação pode ser variado (V/F) de 0 até 1.0 , com a temperatura constante e em 330 K .
b) A razão de alientação e a temperatura (300 até 360 K ) podem ser variados.
Informações:
- O calor de reação e o trabalho podem ser considerados desprezíveis.
- O volume do reator é constante e o seu conteúdo perfeitamente agitado.
- A temperatura entre 300 e 360 K pode ser atingida e mantida constante pelo ajuste do fluxo de calor fornecido ao reator, a um custo desprezível.
- A reação química é:
A condições operacionais são:
volume,
F = vazão
Pede-se:
- A solução do problema, com a determinação do ponto máximo de produção de
.
- A determinação da razão
em que o o ponto máximo de produção é atingido.
- O gráfico da concentração de B versus
.
- O gráfico de
versus a temperatura do reator mostrando as curvas de contorno (produção de
).
a)A razão entre o volume e o fluxo de alimentação pode ser variado (V/F) de 0 até 1.0 , com a temperatura constante e em 330 K .
b) A razão de alientação e a temperatura (300 até 360 K ) podem ser variados.
F = vazão
Passo 1
O enunciado pede que a concentração do produto desejado (componente
) em um reator tipo tanque agitado, em regime estacionário, seja maximizada. Precisamos tratar dois casos: (a) variando a razão
entre
e
com a temperatura fixa em
; (b) variando simultaneamente a razão
(presumo aqui também no intervalo
a
) e a temperatura no intervalo
a
.\n\nInformações dadas (vou listar todas em forma matemática para não perder nada):\n\n
\n\n
\n\n
\n\n
com
\n\n
com
\n\nReação:
.\n\nAs taxas dadas no enunciado foram escritas como
e
. Vou chamar simplesmente
e
como definido acima.\n\nO que o enunciado pede especificamente (resumindo em perguntas):\n\n1) Encontrar a solução analítica do problema e determinar o ponto de máximo de produção de
.\n2) Determinar a razão
em que esse ponto máximo ocorre (para os casos pedidos).\n3) Fazer o gráfico da concentração de
versus
(vou fornecer pontos e instruções para plotagem).\n4) Fazer o gráfico de
versus temperatura mostrando curvas de contorno (níveis) de produção de
(vou derivar as expressões e dar tabelas/curvas de referência para traçar o contorno).\n\nNenhuma outra informação adicional foi fornecida — vamos usar as hipóteses de tanque perfeitamente agitado e regime estacionário para montar balanços de massa.
Passo 2
Montagem do balanço de massa estacionário para um CSTR (tanque perfeitamente agitado) — explicação didática do que cada termo significa:\n\nNum CSTR em regime estacionário, para qualquer espécie
o balanço é: entrada menos saída mais geração por reação igual a zero. Em termos de concentração e tempo de residência
(unidade de tempo):\n\n- Vazão mássica por volume é
.\n- Termo entrada-saída para
:
.\n- Termo geração/consumo por reação é a taxa
(mol/m^3·min).\n\nPortanto para
em estado estacionário:\n
\nAqui
(consumo de
), então substituindo:\n
\nIsolando
:\n
\n\nAgora o balanço para
: formação por conversão de
menos consumo para
e saída por fluxo:\n
\nA formação é
(primeira reação) e o consumo é
. Portanto:\n
\nAgrupando os termos em
:\n
\nIsolando
:\n
\nSubstituindo
obtido acima:\n
\n\nEssa é a expressão fundamental que vamos maximizar. Observação:
tem dimensão de tempo (min, dado que
tem
).
Passo 3
Análise da expressão e preparação para otimização (vou torná-la mais simples para manipular):\n\nDefina para legibilidade
e
. Então\n
\n\nQueremos encontrar o
que maximiza
para um
fixo (caso (a)), ou analisar como esse máximo se move quando mudamos
(caso (b)). A maneira natural é derivar
em relação a
, igualar a zero e resolver para
. Vou fazer isso passo a passo, com cuidado nas contas.
Passo 4
Derivada e condição de máximo (cálculo explícito):\n\nEscrevendo
e
, temos
. A derivada (regra do quociente) é proporcional a\n
\nDividindo por
(positivo) obtemos\n
\nCalcule
e
:\n
\n
\nSubstituindo em
:\n
\nAo simplificar, os termos lineares em
cancelam e sobra:\n
\nLogo a condição crítica é\n
\n\nInterpretação e verificação: esse
é positivo; a segunda derivada (ou análise de comportamento para
e
) mostra que esse ponto é máximo: para
,
; para
,
. Há, portanto, um pico interno e ele ocorre em
.\n\nSubstituindo
na expressão de
obtemos o máximo máximo (para um dado
):\n
\n(Deduzi: ao substituir e simplificar aparece essa forma elegante; detalhe:
, etc., que leva à forma acima.)
Passo 5
Caso (a): cálculo numérico para
— calcular
,
,
e
passo a passo.\n\nPrimeiro calcule as constantes cinéticas à temperatura
:\n
\nCalcule o expoente:
. Então\n
\nMultiplicando:
\n\nAgora
:\n
\nExpoente:
. Então\n
\nMultiplicando:
\n\nAgora calcule
:\n
\n\nE o
correspondente (usar
):\n
Passo 6
Gráfico de
versus
para
: tabela de pontos e forma geral da curva (instruções de plotagem)\n\nA expressão para plotar é\n
\nVou fornecer alguns pontos úteis (arredondados) para traçar o gráfico entre
e
:\n\n
\n\n
\n\n
\n\n
\n\n
\n\n
\n\n
\n\nComo interpretar: a curva sobe quase linearmente para
pequeno, atinge um máximo em
e depois decai assintoticamente a zero quando
. No intervalo
–
aparece claramente o pico interno em
. Para desenhar: ligar os pontos suavemente; o máximo é interno e bem definido.
Passo 7
Caso (b): variação simultânea de
\nNote que
, e por isso a expressão se reduz a\n
\n(Usei
porque é
e como nos deram
em kelvin, fica mais simples assim.)\n\nHá uma consideração prática: estamos limitando
ao intervalo
a
. Se para um dado
a
, o máximo interno está dentro do intervalo e o ponto ótimo será
. Se
, a função
é crescente em
no intervalo
–
(pois o pico está além de
), logo o máximo dentro do intervalo ocorre no limite superior
.\n\nLogo, para cada
devemos comparar
com
.\n\nCalcule o
limiar tal que
. A condição é\n
\nAssim\n
\nCalculando numericamente (passo a passo):\n
,
. Soma
, metade
. Assim\n
\nInterpretação: para
temos
e o máximo admissível no intervalo
–
é
; para
temos
e o máximo admissível (dentro de
) ocorre em
.\n\nAgora avalie a função objetivo máxima admissível
definida como\n
\nCalcule alguns valores representativos:\n\nPara
,
. Aqui
, então máximo admissível em
. Com
:\n
\n\nPara
já tínhamos:
, e\n
\n\nPara
: calculei
,
, então
e\n
\n\nObservação:
decresce com aumento de
dentro do intervalo considerado — portanto o maior valor admissível de
dentro do domínio
,
ocorre no menor
permitido (isto é,
) e com
no limite superior (
) porque para
o
ótimo está fora do intervalo para a direita.\n\nConclusão prática para (b): o máximo global no domínio
e
é em
e
, com
.]
Passo 8
Como construir o gráfico de contornos (
versus
com curvas de nível de
) — instruções práticas e pontos de referência\n\nExpressão para avaliação rápida em uma malha (usar software de plot, por exemplo Python/Matlab/Excel):\n
\ncom\n
\n\nSugestão prática para traçar contornos: gerar uma grade em
de
a
(por exemplo 61 pontos) e em
de
a
(por exemplo 101 pontos). Avaliar
na malha e desenhar curvas de contorno para níveis, por exemplo,
. Dois traços úteis a desenhar na mesma figura:\n\n- A curva
dada por
— traçada somente onde
.\n- A linha vertical
e o ponto
marcado como o máximo global no domínio pedido.\n\nAlgumas coordenadas de referência (aproximadas) que podem ser desenhadas sobre os contornos:\n\n
(fuera do intervalo),
.\n\n
(limiar entre comportamento interno e limite).\n\n
\n\n
\n\nCom esses pontos e a malha, você obtém o gráfico de contornos pedido; a curva
mostrará onde o pico interno se localiza e a região
mostrará que o máximo admissível está na borda
.
Passo 9
Resumo interpretativo, recomendações operacionais e verificação rápida (empatia e incentivo):\n\n- Para uma temperatura fixa em
(caso (a)) existe um ótimo interno de
(ou
) que maximiza
:
. Operar nessa razão maximiza a produção de
naquele
.\n- Quando é possível ajustar
entre
e
(caso (b)), o maior
dentro do domínio permitido ocorre no ponto de menor temperatura
com a maior razão
permitida
(porque o
teórico para
é maior que
).\n\nDica motivacional: isso faz sentido fisicamente porque reações consecutivas com segunda etapa rápida (ou não tão lenta) muitas vezes pedem maiores tempos de residência a temperaturas mais baixas para acumular B antes que ele se consuma para C — a matemática da otimização captura isso de forma direta.
Resposta
(a) Para
:
e
variando em
e
: o máximo global no domínio ocorre em
e
, com
e
.)