197 Para qualquer numero primo p maior que 3 se verifica que p^{2} é igual a um muiltiplo de 12 mais uma unidade? Ou seja, p^{2} \equiv 1(\bmod 12) ?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo primo p>3, vale
p^{2}\equiv1\pmod{12}.
O conteúdo aqui é aritmética modular, em particular vamos usar que todo primo maior que 3 não é divisível nem por 2 nem por 3.

Passo 2

Como p é primo e p>3, concluímos que p não é divisível por 2 nem por 3. Em particular, qualquer número não divisível por 2 nem por 3 satisfaz
p\equiv\pm1\pmod{6}.
Isso significa que existe um inteiro k tal que
p = 6k + 1 \quad\text{ou}\quad p = 6k - 1.

Passo 3

Vamos elevar ao quadrado cada possibilidade. Se p=6k\pm1, então
p^{2} = (6k\pm1)^{2} = 36k^{2} \pm 12k + 1 = 12\bigl(3k^{2}\pm k\bigr) + 1.
Isso mostra que p^{2} difere de um múltiplo de 12 exatamente por 1, ou seja,
p^{2}\equiv1\pmod{12}.

Resposta

Sim. Para todo primo p>3 temos
p^{2}\equiv1\pmod{12}.

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