197 Para qualquer numero primo
maior que 3 se verifica que
é igual a um muiltiplo de 12 mais uma unidade? Ou seja,
?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo primo
, vale
O conteúdo aqui é aritmética modular, em particular vamos usar que todo primo maior que 3 não é divisível nem por 2 nem por 3.
Passo 2
Como
é primo e
, concluímos que
não é divisível por 2 nem por 3. Em particular, qualquer número não divisível por 2 nem por 3 satisfaz
Isso significa que existe um inteiro
tal que
Passo 3
Vamos elevar ao quadrado cada possibilidade. Se
, então
Isso mostra que
difere de um múltiplo de 12 exatamente por 1, ou seja,
Resposta
Sim. Para todo primo
temos