198 Prove que se a \equiv b(\bmod m) \Longrightarrow a c \equiv b c(\bmod m), onde c \in \mathbb{Z}_{+}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se
a \equiv b \pmod m
e c\in\mathbb{Z}_+, então
ac \equiv bc \pmod m.
O conteúdo envolvido é a definição de congruência módulo m e propriedades de divisibilidade.

Passo 2

Pela definição,
a \equiv b \pmod m
significa que m divide a-b. Em outras palavras, existe um inteiro k tal que
a - b = k\,m.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da igualdade por c. Assim,
c\,(a - b) = c\,(k\,m).

Passo 4

Reescrevendo, obtemos
ac - bc = (ck)\,m.
Como c e k são inteiros e c>0, o produto ck também é inteiro. Logo m divide ac - bc.

Passo 5

Pelo critério de congruência, do fato de m\mid (ac - bc) segue que
ac \equiv bc \pmod m.

Resposta

Concluímos que, sempre que a \equiv b\pmod m e c\in\mathbb{Z}_+, vale
ac \equiv bc \pmod m.

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