(1994-2) Mostre que 1+x e e^{x} formam um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea correspondente a x y^{\prime \prime}-(1+x) y^{\prime}+y=x^{2} e^{2 x}, x>0, e, encontre a solução geral da EDO dada.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
x\,y''-(1+x)\,y'+y = x^{2}e^{2x},\qquad x>0,
e pede duas coisas:
Mostrar que 1+x e e^{x} formam um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea correspondente, isto é da equação
x\,y''-(1+x)\,y'+y=0.
Encontrar a solução geral da EDO não-homogênea dada.
Informações relevantes fornecidas: a equação diferencial com coeficiente x em y'' (por isso é necessário dividir por x para escrever na forma padrão quando for aplicar métodos como variação de parâmetros) e o lado direito x^{2}e^{2x}. Não há imagens.
Passo 2
Verificar que y_{1}(x)=1+x é solução da homogênea.
Como x>0 e e^{x}>0, tem-se W(x)=x e^{x}\neq 0 para todo x>0. Logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea.
Passo 5
Passar para a forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1) para aplicar variação de parâmetros. Dividindo a equação original por x (válido porque x>0):
y'' -\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)y' + \frac{1}{x} y = x e^{2x}.
Aqui a parte não-homogênea é r(x)=x e^{2x}.
Vou usar variação de parâmetros: para uma equação
y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)
com soluções fundamentais y_{1},y_{2}, uma solução particular pode ser escrita como
onde W=W(y_{1},y_{2}) é o Wronskiano (já calculado).
No nosso caso y_{1}=1+x, y_{2}=e^{x}, W=x e^{x} e r(x)=x e^{2x}. Então vamos calcular as duas frações que aparecem nas integrais.
Passo 6
Calcular as frações:
Primeira fração:
\frac{y_{2}r}{W}=\frac{e^{x}\cdot x e^{2x}}{x e^{x}}=e^{2x}.
Segunda fração:
\frac{y_{1}r}{W}=\frac{(1+x)\cdot x e^{2x}}{x e^{x}}=(1+x)e^{x}.
Agora calcular as integrais necessárias.
Integral 1:
\int e^{2x}\,dx=\tfrac{1}{2}e^{2x}.
Integral 2: calcular \displaystyle \int (1+x)e^{x}\,dx. Separando,
\int (1+x)e^{x}\,dx=\int e^{x}\,dx+\int x e^{x}\,dx.
A primeira parte é \int e^{x}\,dx=e^{x}. A segunda parte por partes: tomar u=x, dv=e^{x}dx dá
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} = (x-1)e^{x}.
Somando,
\int (1+x)e^{x}\,dx = e^{x} + (x-1)e^{x} = x e^{x}.
Passo 7
Montar y_{p} com as integrais (constantes de integração podem ser absorvidas nas soluções homogêneas, portanto não as incluímos nas integrais usadas para variação de parâmetros):