(1994-2) Mostre que 1+x e e^{x} formam um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea correspondente a x y^{\prime \prime}-(1+x) y^{\prime}+y=x^{2} e^{2 x}, x>0, e, encontre a solução geral da EDO dada.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x\,y''-(1+x)\,y'+y = x^{2}e^{2x},\qquad x>0,
e pede duas coisas:
  • Mostrar que 1+x e e^{x} formam um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea correspondente, isto é da equação
x\,y''-(1+x)\,y'+y=0.
  • Encontrar a solução geral da EDO não-homogênea dada.
Informações relevantes fornecidas: a equação diferencial com coeficiente x em y'' (por isso é necessário dividir por x para escrever na forma padrão quando for aplicar métodos como variação de parâmetros) e o lado direito x^{2}e^{2x}. Não há imagens.

Passo 2

Verificar que y_{1}(x)=1+x é solução da homogênea.
Calcule as derivadas:
y_{1}'(x)=1,\qquad y_{1}''(x)=0.
Substituindo na equação homogênea:
x\cdot 0 - (1+x)\cdot 1 + (1+x) = - (1+x) + (1+x) = 0.
Portanto y_{1}(x)=1+x satisfaz a equação homogênea.

Passo 3

Verificar que y_{2}(x)=e^{x} é solução da homogênea.
Calcule as derivadas:
y_{2}'(x)=e^{x},\qquad y_{2}''(x)=e^{x}.
Substituindo na equação homogênea:
x e^{x} - (1+x) e^{x} + e^{x} = x e^{x} - e^{x} - x e^{x} + e^{x} = 0.
Portanto y_{2}(x)=e^{x} também é solução da homogênea.

Passo 4

Mostrar que \{1+x,\\ e^{x}\} é um conjunto fundamental: calcular o Wronskiano e verificar que é não-nulo para x>0.
O Wronskiano é
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} 1+x & e^{x} \\\\ 1 & e^{x} \end{vmatrix} =(1+x)e^{x}-1\cdot e^{x}=x e^{x}.
Como x>0 e e^{x}>0, tem-se W(x)=x e^{x}\neq 0 para todo x>0. Logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea.

Passo 5

Passar para a forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1) para aplicar variação de parâmetros. Dividindo a equação original por x (válido porque x>0):
y'' -\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)y' + \frac{1}{x} y = x e^{2x}.
Aqui a parte não-homogênea é r(x)=x e^{2x}.
Vou usar variação de parâmetros: para uma equação
y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)
com soluções fundamentais y_{1},y_{2}, uma solução particular pode ser escrita como
y_{p} = -y_{1}\int \frac{y_{2}\,r}{W}\,dx + y_{2}\int \frac{y_{1}\,r}{W}\,dx,
onde W=W(y_{1},y_{2}) é o Wronskiano (já calculado).
No nosso caso y_{1}=1+x, y_{2}=e^{x}, W=x e^{x} e r(x)=x e^{2x}. Então vamos calcular as duas frações que aparecem nas integrais.

Passo 6

Calcular as frações:
Primeira fração:
\frac{y_{2}r}{W}=\frac{e^{x}\cdot x e^{2x}}{x e^{x}}=e^{2x}.
Segunda fração:
\frac{y_{1}r}{W}=\frac{(1+x)\cdot x e^{2x}}{x e^{x}}=(1+x)e^{x}.
Agora calcular as integrais necessárias.
Integral 1:
\int e^{2x}\,dx=\tfrac{1}{2}e^{2x}.
Integral 2: calcular \displaystyle \int (1+x)e^{x}\,dx. Separando,
\int (1+x)e^{x}\,dx=\int e^{x}\,dx+\int x e^{x}\,dx.
A primeira parte é \int e^{x}\,dx=e^{x}. A segunda parte por partes: tomar u=x, dv=e^{x}dx
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} = (x-1)e^{x}.
Somando,
\int (1+x)e^{x}\,dx = e^{x} + (x-1)e^{x} = x e^{x}.

Passo 7

Montar y_{p} com as integrais (constantes de integração podem ser absorvidas nas soluções homogêneas, portanto não as incluímos nas integrais usadas para variação de parâmetros):
y_{p}= -y_{1}\cdot\Bigl(\tfrac{1}{2}e^{2x}\Bigr) + y_{2}\cdot\bigl(x e^{x}\bigr).
Substituindo y_{1}=1+x e y_{2}=e^{x}:
y_{p}= -\tfrac{1}{2}(1+x)e^{2x} + e^{x}\cdot x e^{x}.
Como e^{x}\cdot e^{x}=e^{2x}, obtém-se
y_{p}= -\tfrac{1}{2}(1+x)e^{2x} + x e^{2x}.
Agrupando termos:
y_{p}=e^{2x}\Bigl(x - \tfrac{1}{2}(1+x)\Bigr)=e^{2x}\Bigl(\tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{2}\Bigr)=\tfrac{1}{2}(x-1)e^{2x}.

Passo 8

A solução geral da EDO não-homogênea é a soma da solução geral da homogênea mais a particular encontrada. A solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}(1+x)+C_{2}e^{x},
logo a solução geral da equação dada é
y(x)=C_{1}(1+x)+C_{2}e^{x}+\tfrac{1}{2}(x-1)e^{2x},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}(1+x)+C_{2}e^{x}+\tfrac{1}{2}(x-1)e^{2x},\qquad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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