Questão 4. [2 pts.] Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva.
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as assíntotas horizontais e verticais da curva definida por
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão envolve
, então é necessário ter . - O denominador é
, logo . - Assim, o domínio da função é
O que se pede explicitamente:
- Quais são as assíntotas verticais (valores de
onde )? - Quais são as assíntotas horizontais (valores de
que a curva aproxima quando )?
Passo 2
Conceitos rápidos (úteis para a prova):
- Uma reta vertical
é assíntota vertical se, quando por um lado em que a função está definida, . - Uma reta horizontal
é assíntota horizontal se ou .
Vamos primeiro investigar possíveis assíntotas verticais nos extremos do domínio:
(ponto excluído do domínio) e
(ponto do domínio).
Passo 3
Comportamento em
.
Para
vale a identidade positiva
pois
e
. Assim, para
Agora avaliaremos o limite lateral quando
:
-
(valor finito positivo). -
.
Logo
Como a função não está definida para
no entorno imediato de
, só existe este limite lateral e ele diverge para
. Portanto
é uma assíntota vertical (com
quando
).
Passo 4
Comportamento em
.
O ponto
pertence ao domínio. Avaliando diretamente:
Além disso, se
pela esquerda (único lado do domínio próximo a
), a raiz
tende a
e o denominador tende a
, logo o limite é
. Portanto não há divergência e
não é assíntota vertical (é apenas um ponto regular da curva).
Passo 5
Agora procuramos assíntotas horizontais, ou seja os limites quando
e
.
Limite quando
.
Para
tem-se
e podemos escrever
Então
Como
e
quando
, pelo limite de funções contínuas obtemos
Portanto
é assíntota horizontal quando
.
Passo 6
Limite quando
.
Para
tem-se
. Então
Assim
Ao levar
novamente
e
, obtém-se
Portanto
é assíntota horizontal quando
.
Passo 7
Resumo e observações finais:
- Há uma única assíntota vertical:
(a função tende a ao aproximar-se de pela direita). - Não há assíntota vertical em
(a função vale em ). - Existem duas assíntotas horizontais:
quando e quando .
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntotas horizontais: e
Assíntotas horizontais: