Questão 4. [2 pts.] Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva.
y=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-1}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as assíntotas horizontais e verticais da curva definida por
y=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-1}.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão envolve \sqrt{x^{2}-1}, então é necessário ter x^{2}-1\ge 0.
  • O denominador é x-1, logo x\neq 1.
  • Assim, o domínio da função é
\{x\in\mathbb{R}\mid |x|\ge 1\}\setminus\{1\} = (-\infty,-1]\cup(1,\infty).
O que se pede explicitamente:
  • Quais são as assíntotas verticais (valores de x onde y\to\pm\infty)?
  • Quais são as assíntotas horizontais (valores de y que a curva aproxima quando x\to\pm\infty)?

Passo 2

Conceitos rápidos (úteis para a prova):
  • Uma reta vertical x=a é assíntota vertical se, quando x\to a por um lado em que a função está definida, y\to\pm\infty.
  • Uma reta horizontal y=L é assíntota horizontal se \lim_{x\to\infty} y=L ou \lim_{x\to -\infty} y=L.
Vamos primeiro investigar possíveis assíntotas verticais nos extremos do domínio: x=1 (ponto excluído do domínio) e x=-1 (ponto do domínio).

Passo 3

Comportamento em x=1.
Para x>1 vale a identidade positiva
\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{(x-1)(x+1)}=\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1},
pois x-1\ge0 e x+1>0. Assim, para x>1
y=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-1}=\frac{\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}}{x-1}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}}.
Agora avaliaremos o limite lateral quando x\to 1^+:
  • \sqrt{x+1}\to\sqrt{2} (valor finito positivo).
  • \sqrt{x-1}\to 0^+.
    Logo
\lim_{x\to 1^+} y=\lim_{x\to 1^+}\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}}=+\infty.
Como a função não está definida para x<1 no entorno imediato de 1, só existe este limite lateral e ele diverge para +\infty. Portanto x=1 é uma assíntota vertical (com y\to+\infty quando x\to1^+).

Passo 4

Comportamento em x=-1.
O ponto x=-1 pertence ao domínio. Avaliando diretamente:
y(-1)=\frac{\sqrt{(-1)^{2}-1}}{-1-1}=\frac{\sqrt{0}}{-2}=0.
Além disso, se x\to -1 pela esquerda (único lado do domínio próximo a -1), a raiz \sqrt{x^{2}-1} tende a 0 e o denominador tende a -2, logo o limite é 0. Portanto não há divergência e x=-1 não é assíntota vertical (é apenas um ponto regular da curva).

Passo 5

Agora procuramos assíntotas horizontais, ou seja os limites quando x\to\infty e x\to -\infty.
Limite quando x\to\infty.
Para x>0 tem-se |x|=x e podemos escrever
\sqrt{x^{2}-1}=x\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}.
Então
y=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-1}=\frac{x\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}{x\Bigl(1-\frac{1}{x}\Bigr)} =\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}{1-\frac{1}{x}}.
Como \frac{1}{x}\to 0 e \frac{1}{x^{2}}\to 0 quando x\to\infty, pelo limite de funções contínuas obtemos
\lim_{x\to\infty} y=\frac{\sqrt{1-0}}{1-0}=1.
Portanto y=1 é assíntota horizontal quando x\to\infty.

Passo 6

Limite quando x\to -\infty.
Para x<0 tem-se |x|=-x. Então
\sqrt{x^{2}-1}=|x|\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}=-x\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}.
Assim
y=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-1}=\frac{-x\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}{x\Bigl(1-\frac{1}{x}\Bigr)} =-\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}{1-\frac{1}{x}}.
Ao levar x\to -\infty novamente \frac{1}{x}\to 0 e \frac{1}{x^{2}}\to 0, obtém-se
\lim_{x\to -\infty} y = -\frac{\sqrt{1-0}}{1-0}=-1.
Portanto y=-1 é assíntota horizontal quando x\to -\infty.

Passo 7

Resumo e observações finais:
  • Há uma única assíntota vertical: x=1 (a função tende a +\infty ao aproximar-se de 1 pela direita).
  • Não há assíntota vertical em x=-1 (a função vale 0 em x=-1).
  • Existem duas assíntotas horizontais: y=1 quando x\to\infty e y=-1 quando x\to -\infty.

Resposta

Assíntota vertical: x=1
Assíntotas horizontais: y=1 e y=-1

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