Resolva as EDO’s abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede encontrar a solução geral
.
Informações explícitas fornecidas:
- Equação homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Coeficientes:
, , . - Não foram dadas condições iniciais; portanto será obtida a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Ideia de resolução (sem calcular ainda): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo
onde
é um número (possivelmente complexo). Explicando por que isso funciona: ao substituir
na equação, as derivadas produzem fatores de
e sobra uma expressão do tipo
Como
nunca é zero, ficamos com a condição algébrica
chamada de equação característica. As raízes
dessa quadrática determinam as formas das soluções da EDO.
Passo 3
Calcular a equação característica e suas raízes. A equação característica é
Calcule o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Encontrando-as:
Passo 4
Interpretar as raízes complexas e escrever a solução real geral. Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas da forma
com
e
, as soluções reais independentes podem ser escolhidas como
Aqui temos
e
. A razão é que
e as partes real e imaginária dão duas soluções reais independentes (pela linearidade da EDO). Portanto a solução geral real é
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Passo 5
Aplicando os valores específicos
e
, a solução geral da EDO é
com
.
Dica prática para provas: se forem dadas condições iniciais
e
, calcula-se
e
(resultado vindo da derivada explícita), e resolve-se o sistema linear para
. Isso é rápido e direto.
Passo 6
Breve verificação conceitual: a forma
leva à condição
. Como escolhemos
, esses
satisfazem a equação característica, então
são soluções complexas; tomar combinações lineares das partes real e imaginária produz a solução real acima. Portanto a solução encontrada é consistente.