Resolva as EDO’s abaixo:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+13 y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y'' + 4y' + 13y = 0
e pede encontrar a solução geral y(x).
Informações explícitas fornecidas:
  • Equação homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Coeficientes: a=1, b=4, c=13.
  • Não foram dadas condições iniciais; portanto será obtida a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Ideia de resolução (sem calcular ainda): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo). Explicando por que isso funciona: ao substituir y=e^{r x} na equação, as derivadas produzem fatores de r e sobra uma expressão do tipo
(r^2 + 4r + 13)e^{r x}=0.
Como e^{r x} nunca é zero, ficamos com a condição algébrica
r^2 + 4r + 13 = 0,
chamada de equação característica. As raízes r dessa quadrática determinam as formas das soluções da EDO.

Passo 3

Calcular a equação característica e suas raízes. A equação característica é
r^2 + 4r + 13 = 0.
Calcule o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4\cdot1\cdot13 = 16 - 52 = -36.
Como \Delta < 0, as raízes são complexas conjugadas. Encontrando-as:
r = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i.

Passo 4

Interpretar as raízes complexas e escrever a solução real geral. Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas da forma
r = \alpha \pm i\beta,
com \alpha,\beta\in\mathbb{R} e \beta\neq0, as soluções reais independentes podem ser escolhidas como
e^{\alpha x}\cos(\beta x)\quad\text{e}\quad e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Aqui temos \alpha = -2 e \beta = 3. A razão é que e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x + i\sin\beta x) e as partes real e imaginária dão duas soluções reais independentes (pela linearidade da EDO). Portanto a solução geral real é
y(x)=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias.

Passo 5

Aplicando os valores específicos \alpha=-2 e \beta=3, a solução geral da EDO é
y(x)=e^{-2x}\bigl(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)\bigr),
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.
Dica prática para provas: se forem dadas condições iniciais y(0)=y_0 e y'(0)=y_1, calcula-se y(0)=C_1 e y'(0)=-2C_1+3C_2 (resultado vindo da derivada explícita), e resolve-se o sistema linear para C_1,C_2. Isso é rápido e direto.

Passo 6

Breve verificação conceitual: a forma y=e^{r x} leva à condição r^2+4r+13=0. Como escolhemos r=-2\pm3i, esses r satisfazem a equação característica, então e^{(-2\pm3i)x} são soluções complexas; tomar combinações lineares das partes real e imaginária produz a solução real acima. Portanto a solução encontrada é consistente.

Resposta

y(x)=e^{-2x}\bigl(C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)\bigr)

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