Em 1997, o parlamento regional de Coimbra, em Portugal, discutiu diversas propostas para reformar o financiamento das escolas públicas. Alegava-se que o valor médio investido por aluno na região era
inferior à média nacional portuguesa, estimada em €5.541. Um estudo conduzido pela organização Cidadania Educativa, considerada referência em avaliações independentes, reportou uma média de
por aluno.
O presidente da Assembleia Legislativa, Miguel Madeira (Partido Democrático - Coimbra), afirmou que mais de
da população apoiava o plano do governador Joaquim Esteves de aumentar o imposto de renda regional em mais de
para financiar melhorias na educação. No entanto, o presidente do Senado, Jaime Pires (Partido Republicano - Vila Real), contestou essa afirmação, alegando que o apoio popular não era tão expressivo. Já o líder republicano Luís Dantas (Partido Republicano - Braga) declarou que o gasto médio por escola na região era de
.
O assessor do governador para assuntos educacionais, Marcos Barros, realizou uma pesquisa de opinião pública. Descobriu que o gasto médio por aluno era de
, com base em uma amostra de 1.200 estudantes, assumindo um desvio padrão de
. Barros também verificou que, entre 25 escolas pesquisadas, a média de gasto por escola era de
, com desvio padrão de
. Além disso, entre os 1.000 contribuintes entrevistados, 355 afirmaram apoiar o plano do governador de aumentar os impostos para financiar a reforma educacional.
Teste a alegação de que o gasto médio por aluno na região é inferior à média nacional de €5.541, com nível de significância de
. Calcule o valor
.
inferior à média nacional portuguesa, estimada em €5.541. Um estudo conduzido pela organização Cidadania Educativa, considerada referência em avaliações independentes, reportou uma média de
O presidente da Assembleia Legislativa, Miguel Madeira (Partido Democrático - Coimbra), afirmou que mais de
O assessor do governador para assuntos educacionais, Marcos Barros, realizou uma pesquisa de opinião pública. Descobriu que o gasto médio por aluno era de
Teste a alegação de que o gasto médio por aluno na região é inferior à média nacional de €5.541, com nível de significância de
Passo 1
O enunciado pede que a gente teste a alegação de que o gasto médio por aluno na região é inferior à média nacional de
, usando nível de significância de
, e que calcule o valor
.\n
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
A questão: realizar o teste de hipótese e calcular o
-valor associado (teste unilateral à esquerda porque a alegação é “inferior”).
Passo 2
Formulamos as hipóteses do teste de forma clara:
Explicação simples:
é que a média regional é igual à média nacional;
é que a média regional é menor (alegação do enunciado). Estamos fazendo um teste unilateral à esquerda.
Passo 3
Decidimos o teste a aplicar. Justificativa didática:
- Foi informado um desvio padrão
de . Quando a variância populacional é (assumida) conhecida, usamos o teste para a média. - Além disso, a amostra é grande (
), o que reforça o uso da distribuição normal para a estatística do teste.
Fórmula da estatística:
Aqui:
-
é a média amostral, -
é o valor sob , -
é o desvio padrão populacional presumido, -
é o tamanho da amostra.
A estatísticasegue, sob , aproximadamente a distribuição normal padrão .
Passo 4
Calculamos o denominador (erro padrão) passo a passo:
Explicação: o erro padrão mede quanto a média amostral tende a variar em torno da média populacional; é
.
Passo 5
Calculamos a estatística
:
Comentário: esse valor de
é muito negativo, o que indica que a média amostral está muito abaixo de
em unidades do erro padrão.
Passo 6
Agora calculamos o
-valor. Definição didática: para um teste unilateral à esquerda, o
-valor é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão e
é o valor observado de
.\n
Como , esse valor está tão distante à esquerda que o
-valor é praticamente zero. Para dar um número aproximado usando a aproximação do cauda da normal (útil quando
é grande em módulo):
para ,
Como
para
No nosso caso usamos
e a cauda esquerda
é aproximadamente igual a
. Fazendo as contas (passos mostrados):
Portanto, numericamente,
ou seja, extremamente próximo de zero.
Passo 7
Decisão e interpretação (didática e amistosa): com
e
, temos
. Portanto rejeitamos
. Interpretação prática: os dados amostrais fornecidos pela pesquisa suportam fortemente a alegação de que o gasto médio por aluno na região é inferior a
. Não se preocupe com os cálculos: um
tão grande (em módulo) já indica evidência avassaladora.
Resposta
Conclusão: Rejeita-se