Em 1997, o parlamento regional de Coimbra, em Portugal, discutiu diversas propostas para reformar o financiamento das escolas públicas. Alegava-se que o valor médio investido por aluno na região era
inferior à média nacional portuguesa, estimada em €5.541. Um estudo conduzido pela organização Cidadania Educativa, considerada referência em avaliações independentes, reportou uma média de € 5.015 por aluno.
O presidente da Assembleia Legislativa, Miguel Madeira (Partido Democrático - Coimbra), afirmou que mais de 40 % da população apoiava o plano do governador Joaquim Esteves de aumentar o imposto de renda regional em mais de 25 % para financiar melhorias na educação. No entanto, o presidente do Senado, Jaime Pires (Partido Republicano - Vila Real), contestou essa afirmação, alegando que o apoio popular não era tão expressivo. Já o líder republicano Luís Dantas (Partido Republicano - Braga) declarou que o gasto médio por escola na região era de € 2.500 .000.
O assessor do governador para assuntos educacionais, Marcos Barros, realizou uma pesquisa de opinião pública. Descobriu que o gasto médio por aluno era de € 5.112, com base em uma amostra de 1.200 estudantes, assumindo um desvio padrão de € 1.254. Barros também verificou que, entre 25 escolas pesquisadas, a média de gasto por escola era de € 2.200 .000, com desvio padrão de € 900.000. Além disso, entre os 1.000 contribuintes entrevistados, 355 afirmaram apoiar o plano do governador de aumentar os impostos para financiar a reforma educacional.
Teste a alegação de que o gasto médio por aluno na região é inferior à média nacional de €5.541, com nível de significância de 5 %. Calcule o valor p.

Passo 1

O enunciado pede que a gente teste a alegação de que o gasto médio por aluno na região é inferior à média nacional de €5.541, usando nível de significância de 5\%, e que calcule o valor p.\n
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\bar{x}=€5.112,\quad n=1.200,\quad \sigma=€1.254,\quad \mu_0=€5.541,\quad \alpha=0{,}05.
A questão: realizar o teste de hipótese e calcular o p-valor associado (teste unilateral à esquerda porque a alegação é “inferior”).

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste de forma clara:
H_0:\\ \mu = 5541
H_a:\\ \mu < 5541
Explicação simples: H_0 é que a média regional é igual à média nacional; H_a é que a média regional é menor (alegação do enunciado). Estamos fazendo um teste unilateral à esquerda.

Passo 3

Decidimos o teste a aplicar. Justificativa didática:
  • Foi informado um desvio padrão \sigma de €1.254. Quando a variância populacional é (assumida) conhecida, usamos o teste z para a média.
  • Além disso, a amostra é grande ( n=1200), o que reforça o uso da distribuição normal para a estatística do teste.
    Fórmula da estatística z:
z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral,
  • \mu_0 é o valor sob H_0,
  • \sigma é o desvio padrão populacional presumido,
  • n é o tamanho da amostra.
    A estatística z segue, sob H_0, aproximadamente a distribuição normal padrão N(0,1).

Passo 4

Calculamos o denominador (erro padrão) passo a passo:
\sqrt{n}=\sqrt{1200}=10\sqrt{12}\approx 34{,}64101615.
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1254}{\sqrt{1200}}\approx \frac{1254}{34{,}64101615}\approx 36{,}2.
Explicação: o erro padrão mede quanto a média amostral tende a variar em torno da média populacional; é \sigma/\sqrt{n}.

Passo 5

Calculamos a estatística z:
\bar{x}-\mu_0=5112-5541=-429.
z=\frac{-429}{36{,}2}\approx -11{,}85.
Comentário: esse valor de z é muito negativo, o que indica que a média amostral está muito abaixo de \mu_0 em unidades do erro padrão.

Passo 6

Agora calculamos o p-valor. Definição didática: para um teste unilateral à esquerda, o p-valor é
p = P(Z \le z_{\text{obs}})=\Phi(z_{\text{obs}}),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão e z_{\text{obs}} é o valor observado de z.\n
Como z_{\text{obs}}\approx -11{,}85, esse valor está tão distante à esquerda que o p-valor é praticamente zero. Para dar um número aproximado usando a aproximação do cauda da normal (útil quando z é grande em módulo):
para u>0,
1-\Phi(u)\approx \frac{1}{u\sqrt{2\pi}}e^{-u^{2}/2}.
No nosso caso usamos u=11{,}85 e a cauda esquerda \Phi(-u) é aproximadamente igual a \frac{1}{u\sqrt{2\pi}}e^{-u^{2}/2}. Fazendo as contas (passos mostrados):
u^{2}\approx 11{,}85^{2}\approx 140{,}38,\qquad \frac{u^{2}}{2}\approx 70{,}19,
e^{-70{,}19}\approx 10^{-70{,}19/2{,}302585}\approx 3{,}3\times 10^{-31},
\frac{1}{u\sqrt{2\pi}}\approx \frac{1}{11{,}85\cdot 2{,}5066}\approx 0{,}0337,
p\approx 0{,}0337\times 3{,}3\times 10^{-31}\approx 1{,}1\times 10^{-32}.
Portanto, numericamente,
p\approx 1{,}1\times 10^{-32},
ou seja, extremamente próximo de zero.

Passo 7

Decisão e interpretação (didática e amistosa): com \alpha=0{,}05 e p\approx 1{,}1\times 10^{-32}, temos p\ll\alpha. Portanto rejeitamos H_0. Interpretação prática: os dados amostrais fornecidos pela pesquisa suportam fortemente a alegação de que o gasto médio por aluno na região é inferior a €5.541. Não se preocupe com os cálculos: um z tão grande (em módulo) já indica evidência avassaladora.

Resposta

p \approx 1{,}1\times 10^{-32}\n
Conclusão: Rejeita-se H_0 ao nível de significância de 5\%; há forte evidência de que a média regional é inferior a €5.541.

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