Uma reportagem publicada em abril de 1991 pela revista Fortune abordou o estilo de vida dos chamados “yuppies”, jovens profissionais nascidos após a Segunda Guerra Mundial, com idades entre 25 e 43 anos, que ocupavam cargos administrativos em grandes corporações. O artigo comparava a rotina de trabalho desses executivos ambiciosos, que seguiam a trilha acelerada da carreira corporativa, com a de funcionários que mantinham uma jornada mais equilibrada.
Embora os orientados ao sucesso frequentemente relatassem jornadas semanais de 70,80 ou até 90 horas, o padrão mais comum era de cerca de 60 horas. Os dados foram obtidos por meio de entrevistas com colaboradores de empresas multinacionais, especialmente nos setores financeiro e tecnológico. O estudo também revelou que muitos desses profissionais sacrificavam tempo com a família e lazer em prol do crescimento profissional, reforçando uma cultura de produtividade extrema.
Considere o Grupo 1 como os profissionais que seguem a via rápida corporativa e o Grupo 2 como aqueles que dedicam menos tempo ao trabalho. As entrevistas revelaram os seguintes dados estatísticos sobre a carga horária semanal:
Grupo 1 Grupo 2
\bar{X}_{1}=62,5 horas \bar{X}_{2}=39,7 horas
s_{1}=23,7 horas s_{2}=8,9 horas
n_{1}=175 n_{2}=168
a) Construa e interprete um intervalo de confiança de 90 \% para a diferença entre as médias de horas trabalhadas por semana entre os dois grupos.
b) Realize um teste de hipótese para verificar se as médias de horas trabalhadas são iguais entre os dois grupos, utilizando um nível de significância de 10%.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre as horas trabalhadas por semana em dois grupos independentes:
  1. (a) Construir e interpretar um intervalo de confiança de 90\% para a diferença entre as médias dos grupos (Grupo 1 menos Grupo 2).
  2. (b) Testar, com nível de significância 10\%, se as médias dos dois grupos são iguais.
Dados fornecidos:
\bar{X}_{1}=62,5,\quad s_{1}=23,7,\quad n_{1}=175
\bar{X}_{2}=39,7,\quad s_{2}=8,9,\quad n_{2}=168

Passo 2

Escolha do método e fórmulas (explicando o que cada símbolo significa):
  • Temos duas amostras independentes; vamos usar o procedimento que permite diferenças de variâncias entre os grupos (teste de Welch / intervalo com variâncias não assumidas iguais). Esse método é recomendado quando não se tem motivo para assumir variâncias iguais, e funciona bem com amostras grandes.
  • Fórmula da diferença amostral:
\widehat{\Delta}=\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}
onde \bar{X}_{1} e \bar{X}_{2} são as médias amostrais dos grupos 1 e 2.
  • Erro padrão (desvio padrão da diferença das médias):
SE=\sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}
onde s_{1}^{2} e s_{2}^{2} são as variâncias amostrais (ou seja, s_{1}^{2}=(s_{1})^{2} e s_{2}^{2}=(s_{2})^{2}), e n_{1},n_{2} são os tamanhos das amostras.
  • Para o intervalo de confiança de nível 1-\alpha usamos o quantil t_{\nu,\,\alpha/2} com graus de liberdade \nu calculados pela aproximação de Welch (Satterthwaite):
\nu \approx \frac{\left(\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}}{\frac{(s_{1}^{2})^{2}}{n_{1}^{2}(n_{1}-1)}+\frac{(s_{2}^{2})^{2}}{n_{2}^{2}(n_{2}-1)}}
  • O intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para \mu_1-\mu_2 é
\left(\widehat{\Delta}-t_{\nu,\alpha/2}\,SE,\\ \widehat{\Delta}+t_{\nu,\alpha/2}\,SE\right).

Passo 3

Calcule a diferença amostral e o erro padrão, mostrando passo a passo:
  • Diferença amostral:
\widehat{\Delta}=\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}=62,5-39,7=22,8.
  • Variâncias amostrais:
s_{1}^{2}=(23,7)^{2}=561,69,\qquad s_{2}^{2}=(8,9)^{2}=79,21.
  • Componentes para o SE:
\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}=\frac{561,69}{175}\approx 3,20965,
\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}=\frac{79,21}{168}\approx 0,47150.
  • Soma e raiz:
SE=\sqrt{3,20965+0,47150}=\sqrt{3,68115}\approx 1,9187.

Passo 4

Calcule os graus de liberdade pela aproximação de Welch (detalhando as contas):
  • Numerador da fórmula de \nu:
\left(\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}=(3,68115)^{2}\approx 13,5499.
  • Denominador: duas parcelas
\frac{(s_{1}^{2})^{2}}{n_{1}^{2}(n_{1}-1)}=\frac{(561,69)^{2}}{175^{2}\cdot 174}\approx 0,0592,
\frac{(s_{2}^{2})^{2}}{n_{2}^{2}(n_{2}-1)}=\frac{(79,21)^{2}}{168^{2}\cdot 167}\approx 0,00133.
  • Soma do denominador:
0,0592+0,00133\approx 0,06053.
  • Assim
\nu\approx\frac{13,5499}{0,06053}\approx 223,9\approx 224\\ (\text{aproximadamente}).
Observação: com \nu tão grande, o quantil t_{\nu,\alpha/2} fica muito próximo do quantil normal padrão.

Passo 5

Construção do intervalo de confiança de 90\% (detalhando o valor crítico):
  • Para nível 90\% temos \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05.
  • O quantil t_{\nu,0,05} com \nu\approx 224 é aproximadamente
t_{224,0,05}\approx 1,645
(esse valor é muito próximo do quantil normal z_{0,05}=1,645 por \nu grande).
  • Margem de erro:
ME=t_{224,0,05}\cdot SE\approx 1,645\cdot 1,9187\approx 3,157.
  • Intervalo:
\left(22,8-3,157,\\\ 22,8+3,157\right)\approx\left(19,643,\\\ 25,957\right).
Arredondando para duas casas decimais (próximo do usual em estatística aplicada):
\boxed{(19,64,\;25,96)}
Interpretação (didática e prática): isso significa que, com 90\% de confiança, a média de horas semanais do Grupo 1 é entre aproximadamente 19{,}64 e 25{,}96 horas a mais que a do Grupo 2. Como o intervalo não contém zero, isso sugere uma diferença real entre as médias.

Passo 6

Formule o teste de hipóteses e explique a estatística do teste:
  • Hipóteses (teste bilateral, pois queremos verificar igualdade):
H_{0}:\\ \mu_{1}=\mu_{2}\qquad\text{vs}\qquad H_{1}:\\ \mu_{1}\neq\mu_{2}.
  • Estatística de teste (mesma estrutura do intervalo):
t=\frac{\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}}{SE}=\frac{\widehat{\Delta}}{SE}.
  • Usamos os mesmos graus de liberdade \nu aproximados por Welch (calculados no Passo 4).

Passo 7

Calcule a estatística, o valor-p aproximado e tome a decisão:
  • Estatística:
t=\frac{22,8}{1,9187}\approx 11,88.
  • Para \alpha=0,10 e teste bilateral, o valor crítico é t_{224,0,05}\approx 1,645. A regra de decisão: rejeitar H_{0} se |t|>1,645.
  • Aqui |t|\approx 11,88\gg 1,645, portanto rejeitamos H_{0}.
  • Valor-p: com t tão grande e \nu\approx 224, o p-valor é praticamente zero (muito menor que 0,01). Podemos anotar
p\text{-valor}<0,0001\quad(\text{praticamente }0).
Interpretação didática: os dados fornecem evidência muito forte contra a hipótese de médias iguais; portanto, ao nível de significância 10\% (e em níveis muito menores), concluímos que as médias são diferentes — o Grupo 1 trabalha, em média, muito mais horas por semana que o Grupo 2.

Resposta

(a) 90\% intervalo de confiança para \mu_{1}-\mu_{2}: (19,64,\;25,96).\n
(b) Rejeita-se H_{0} ao nível \alpha=0,10; t\approx 11,9 com \nu\approx 224, p\text{-valor}<0,0001.

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