A empresa Fonte Cristalina fornece água mineral em galões de 15 litros para residências em três municípios da região serrana de Portugal. O serviço é bastante popular entre os moradores, especialmente durante os meses mais quentes, quando o consumo de água tende a aumentar significativamente. A empresa realiza entregas mensais e busca constantemente otimizar sua logística e prever a demanda com maior precisão.
Com o objetivo de estimar o número médio de galões consumidos por residência a cada mês, o gerente regional decidiu realizar uma pesquisa. Para isso, foi selecionada uma amostra aleatória de 75 casas, e registrou-se o número de galões utilizados mensalmente por cada uma. Os resultados indicaram uma média amostral de \bar{X}=3,2 galões, com um desvio padrão amostral de s=0,78 galões.
a) O que revelaria um intervalo de confiança de 92 \% para a média verdadeira de consumo mensal de galões por residência?
b) No entanto, o gerente considera que esse intervalo é muito amplo. Quantas casas devem ser incluídas na amostra para garantir, com 99 \% de confiança, que a margem de erro não ultrapasse 0,10 galões?
c) Foi selecionada uma amostra menor de 10 residências para estimar o número médio de moradores por casa. Os dados coletados foram: 1,3,4,7,2,2,3,5,6 e 6 pessoas por residência. Com base nesses dados, calcule um intervalo de confiança de 99 \% para o número médio de membros por família.
d) Das 75 casas da amostra, 22 possuem abrandadores de água instalados. Qual é o intervalo de confiança de 95 \% para a proporção verdadeira de casas que possuem abrandadores de água nos três municípios atendidos?
e) Sabendo que o intervalo anterior variava entre 18,8 \% e 39,2 \% e foi considerado impreciso, qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para garantir um novo intervalo de confiança com amplitude de apenas 10 \% ?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra aleatória de 75 residências com média amostral \bar{X}=3,2 galões e desvio padrão amostral s=0,78 galões. Perguntas:
a) Construir um intervalo de confiança de 92\% para a média verdadeira de consumo mensal (galões por residência).
b) Determinar quantas casas são necessárias para, com 99\% de confiança, ter margem de erro máxima 0,10 galões. Use a informação disponível (o desvio s) para planejar a amostra.
c) Com uma amostra de n=10 residências cujos números de moradores são 1,3,4,7,2,2,3,5,6,6, calcular um intervalo de confiança de 99\% para a média do número de moradores por casa.
d) Das 75 casas, 22 têm abrandadores; calcular um intervalo de confiança de 95\% para a proporção verdadeira de casas com abrandador.
e) Sabendo que o intervalo anterior variava entre 18{,}8\% e 39{,}2\% e foi considerado impreciso, qual o tamanho mínimo da amostra necessário para obter um novo intervalo com amplitude total de apenas 10\% (isto é, largura total 0{,}10)?
Dados importantes listados: n=75, \bar{X}=3,2, s=0,78; para (c) os dados da amostra; para (d) x=22, n=75. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

(a) Como construir um intervalo de confiança para a média quando usamos o desvio amostral e a amostra é relativamente grande ( n=75), usamos a aproximação pelo modelo normal. A fórmula geral do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média é
\bar{X}\pm z_{1-\alpha/2}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{X} é a média amostral (aqui \bar{X}=3,2),
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=0,78),
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=75),
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que \Pr(Z\le z_{1-\alpha/2})=1-\alpha/2.
Para 92\% de confiança temos 1-\alpha=0{,}92 então \alpha=0{,}08 e \alpha/2=0{,}04. Precisamos de z_{1-0{,}04}=z_{0{,}96}. O valor tabelado é aproximadamente z_{0{,}96}\approx 1{,}7507.
Calculamos a margem de erro E:
E = z_{0{,}96}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}} \approx 1{,}7507\cdot\frac{0{,}78}{\sqrt{75}}.
Calcule passo a passo:
\sqrt{75}\approx 8{,}6603,
\frac{0{,}78}{\sqrt{75}}\approx 0{,}09008,
E\approx 1{,}7507\times 0{,}09008 \approx 0{,}1576.
Portanto o intervalo é
\bar{X}\pm E = 3{,}2 \pm 0{,}1576,
ou seja
\text{IC}_{92\%} \approx (3{,}2-0{,}1576,\;3{,}2+0{,}1576)=(3{,}0424,\;3{,}3576).
Arredondando com dois decimais: (3{,}04,\;3{,}36) galões.

Passo 3

(b) Queremos o tamanho da amostra n tal que, com 99\% de confiança, a margem de erro não exceda E=0{,}10 galões. Usamos a fórmula (quando planejamos usando uma estimativa do desvio s):
n = \left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,s}{E}\right)^2,
onde z_{1-\alpha/2} agora corresponde a 99\% de confiança: 1-\alpha=0{,}99\Rightarrow \alpha/2=0{,}005, então z_{0{,}995}\approx 2{,}5758.
Substituindo s=0{,}78 e E=0{,}10:
n \approx \left(\frac{2{,}5758\times 0{,}78}{0{,}10}\right)^2.
Calcule:
2{,}5758\times 0{,}78 \approx 2{,}0079,
\frac{2{,}0079}{0{,}10}=20{,}079,
n \approx 20{,}079^2 \approx 403{,}17.
Como n deve ser inteiro e devemos garantir a precisão (não podemos ter fração de amostra), arredondamos para cima:
n=404\\ \text{casas}.

Passo 4

(c) Agora trabalhamos com a amostra pequena de n=10 moradores por casa: os dados são
1,\;3,\;4,\;7,\;2,\;2,\;3,\;5,\;6,\;6.
Primeiro calculemos a média amostral \bar{X} e o desvio padrão amostral s.
Soma dos valores:
\sum x_i = 1+3+4+7+2+2+3+5+6+6 = 39.
Logo
\bar{X}=\frac{39}{10}=3{,}9.
Agora os desvios ao quadrado para obter a variância amostral:
Calculei cada (x_i-\bar{X})^2 e somei:
\sum (x_i-\bar{X})^2 = 36{,}90.
A variância amostral (com divisor n-1) é
s^2=\frac{\sum (x_i-\bar{X})^2}{n-1}=\frac{36{,}90}{9}=4{,}10.
Logo o desvio amostral é
s=\sqrt{4{,}10}\approx 2{,}0249.
Como n é pequeno e a variância populacional é desconhecida, usamos a distribuição t com df=n-1=9. Para 99\% de confiança temos t_{1-\alpha/2,\,9}=t_{0{,}995,9}. Valor tabelado:
t_{0{,}995,9}\approx 3{,}2498.
A margem de erro é
E = t_{0{,}995,9}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}} \approx 3{,}2498\cdot\frac{2{,}0249}{\sqrt{10}}.
Calcule passo a passo:
\sqrt{10}\approx 3{,}1623,
\frac{2{,}0249}{3{,}1623}\approx 0{,}6406,
E\approx 3{,}2498\times 0{,}6406 \approx 2{,}081.
Portanto o intervalo de 99\% para a média é
\bar{X}\pm E = 3{,}9 \pm 2{,}081,
ou seja
\text{IC}_{99\%}\approx (1{,}819,\;5{,}981).
Arredondando para duas casas decimais: (1{,}82,\;5{,}98) pessoas por residência.

Passo 5

(d) Para a proporção: temos x=22 sucessos em n=75, logo a proporção amostral é
\hat{p}=\frac{22}{75}\approx 0{,}2933.
O intervalo de confiança de nível 1-\alpha=95\% para proporção usa a aproximação normal (quando np e n(1-p) não são muito pequenos), com fórmula
\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Aqui z_{0{,}975}=1{,}96. Calculamos o erro padrão:
\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0{,}2933\times(1-0{,}2933)}{75}} =\sqrt{\frac{0{,}2933\times 0{,}7067}{75}}.
Calculei:
\hat{p}(1-\hat{p})\approx 0{,}20716,
\frac{0{,}20716}{75}\approx 0{,}002762,
\text{erro padrão}\approx 0{,}05256.ã
A margem de erro é
E=1{,}96\times 0{,}05256\approx 0{,}1030.
Logo o intervalo de 95\% é
\hat{p}\pm E \approx 0{,}2933 \pm 0{,}1030,
ou seja
(0{,}1903,\;0{,}3963).
Em porcentagem e arredondando: (19{,}0\%,\;39{,}6\%).

Passo 6

(e) Interpretação: “amplitude de apenas 10\%” significa largura total do intervalo igual a 0{,}10. Então a margem de erro (meia-amplitude) deve ser
E=\frac{0{,}10}{2}=0{,}05.
Mantendo o mesmo nível de confiança do item (d), ou seja 95\%, usamos z_{0{,}975}=1{,}96. A fórmula para tamanho mínimo da amostra para proporção, quando se tem uma estimativa \hat{p}, é
n=\frac{z^2\hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}.
O enunciado forneceu o intervalo anterior 18{,}8\% a 39{,}2\%; o ponto central desse intervalo é aproximadamente 29\% (isto é, \hat{p}\approx 0{,}29). Usamos esse \hat{p} para planejar n.
Substituindo: z=1{,}96, \hat{p}=0{,}29, E=0{,}05,
n\approx \frac{1{,}96^2\times 0{,}29\times 0{,}71}{0{,}05^2}.
Calcule:
1{,}96^2=3{,}8416,
0{,}29\times 0{,}71=0{,}2059,
3{,}8416\times 0{,}2059\approx 0{,}7910,
\frac{0{,}7910}{0{,}0025}\approx 316{,}4.
Arredondando para cima para garantir a precisão:
n=317\\ \text{casas}.
Observação pedagógica: se não tivéssemos boa estimativa de \hat{p}, é comum usar o caso conservador \hat{p}=0{,}5, que maximiza \hat{p}(1-\hat{p}) e daria
n=\frac{1{,}96^2\times 0{,}5\times 0{,}5}{0{,}05^2}\approx 384{,}16,
ou seja n=385 para garantir a amplitude independentemente do verdadeiro p. Como já tínhamos uma estimativa ( 29\%), o tamanho necessário cai para 317.

Resposta

(a) Intervalo de 92\% para a média: (3{,}04,\;3{,}36) galões.
(b) Tamanho da amostra para 99\% e E=0{,}10: n=404 casas.
(c) Intervalo de 99\% para a média de moradores: (1{,}82,\;5{,}98) pessoas por residência.
(d) Intervalo de 95\% para a proporção de casas com abrandador: (19{,}0\%,\;39{,}6\%).
(e) Tamanho mínimo da amostra para amplitude total 10\% (usando \hat{p}\approx 0{,}29): n=317 (alternativamente, se não usar estimativa de p, caso conservador \hat{p}=0{,}5 n=385).

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