A empresa Fonte Cristalina fornece água mineral em galões de 15 litros para residências em três municípios da região serrana de Portugal. O serviço é bastante popular entre os moradores, especialmente durante os meses mais quentes, quando o consumo de água tende a aumentar significativamente. A empresa realiza entregas mensais e busca constantemente otimizar sua logística e prever a demanda com maior precisão.
Com o objetivo de estimar o número médio de galões consumidos por residência a cada mês, o gerente regional decidiu realizar uma pesquisa. Para isso, foi selecionada uma amostra aleatória de 75 casas, e registrou-se o número de galões utilizados mensalmente por cada uma. Os resultados indicaram uma média amostral de
galões, com um desvio padrão amostral de
galões.
a) O que revelaria um intervalo de confiança de
para a média verdadeira de consumo mensal de galões por residência?
b) No entanto, o gerente considera que esse intervalo é muito amplo. Quantas casas devem ser incluídas na amostra para garantir, com
de confiança, que a margem de erro não ultrapasse 0,10 galões?
c) Foi selecionada uma amostra menor de 10 residências para estimar o número médio de moradores por casa. Os dados coletados foram:
e 6 pessoas por residência. Com base nesses dados, calcule um intervalo de confiança de
para o número médio de membros por família.
d) Das 75 casas da amostra, 22 possuem abrandadores de água instalados. Qual é o intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira de casas que possuem abrandadores de água nos três municípios atendidos?
e) Sabendo que o intervalo anterior variava entre
e
e foi considerado impreciso, qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para garantir um novo intervalo de confiança com amplitude de apenas
?
Com o objetivo de estimar o número médio de galões consumidos por residência a cada mês, o gerente regional decidiu realizar uma pesquisa. Para isso, foi selecionada uma amostra aleatória de 75 casas, e registrou-se o número de galões utilizados mensalmente por cada uma. Os resultados indicaram uma média amostral de
a) O que revelaria um intervalo de confiança de
b) No entanto, o gerente considera que esse intervalo é muito amplo. Quantas casas devem ser incluídas na amostra para garantir, com
c) Foi selecionada uma amostra menor de 10 residências para estimar o número médio de moradores por casa. Os dados coletados foram:
d) Das 75 casas da amostra, 22 possuem abrandadores de água instalados. Qual é o intervalo de confiança de
e) Sabendo que o intervalo anterior variava entre
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra aleatória de
residências com média amostral
galões e desvio padrão amostral
galões. Perguntas:
a) Construir um intervalo de confiança de para a média verdadeira de consumo mensal (galões por residência).
b) Determinar quantas casas são necessárias para, com de confiança, ter margem de erro máxima
galões. Use a informação disponível (o desvio
) para planejar a amostra.
c) Com uma amostra de residências cujos números de moradores são
, calcular um intervalo de confiança de
para a média do número de moradores por casa.
d) Das casas,
têm abrandadores; calcular um intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira de casas com abrandador.
e) Sabendo que o intervalo anterior variava entre e
e foi considerado impreciso, qual o tamanho mínimo da amostra necessário para obter um novo intervalo com amplitude total de apenas
(isto é, largura total
)?
a) Construir um intervalo de confiança de
b) Determinar quantas casas são necessárias para, com
c) Com uma amostra de
d) Das
e) Sabendo que o intervalo anterior variava entre
Dados importantes listados:
,
,
; para (c) os dados da amostra; para (d)
,
. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
(a) Como construir um intervalo de confiança para a média quando usamos o desvio amostral e a amostra é relativamente grande (
), usamos a aproximação pelo modelo normal. A fórmula geral do intervalo de confiança de nível
para a média é
onde:
-
é a média amostral (aqui ), -
é o desvio padrão amostral (aqui ), -
é o tamanho da amostra (aqui ), -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que .
Para
de confiança temos
então
e
. Precisamos de
. O valor tabelado é aproximadamente
.
Calculamos a margem de erro
:
Calcule passo a passo:
Portanto o intervalo é
ou seja
Arredondando com dois decimais:
galões.
Passo 3
(b) Queremos o tamanho da amostra
tal que, com
de confiança, a margem de erro não exceda
galões. Usamos a fórmula (quando planejamos usando uma estimativa do desvio
):
onde
agora corresponde a
de confiança:
, então
.
Substituindo
e
:
Calcule:
Como
deve ser inteiro e devemos garantir a precisão (não podemos ter fração de amostra), arredondamos para cima:
Passo 4
(c) Agora trabalhamos com a amostra pequena de
moradores por casa: os dados são
Primeiro calculemos a média amostral
e o desvio padrão amostral
.
Soma dos valores:
Logo
Agora os desvios ao quadrado para obter a variância amostral:
Calculei cada e somei:
Calculei cada
A variância amostral (com divisor
) é
Logo o desvio amostral é
Como
é pequeno e a variância populacional é desconhecida, usamos a distribuição
com
. Para
de confiança temos
. Valor tabelado:
A margem de erro é
Calcule passo a passo:
Portanto o intervalo de
para a média é
ou seja
Arredondando para duas casas decimais:
pessoas por residência.
Passo 5
(d) Para a proporção: temos
sucessos em
, logo a proporção amostral é
O intervalo de confiança de nível
para proporção usa a aproximação normal (quando
e
não são muito pequenos), com fórmula
Aqui
. Calculamos o erro padrão:
Calculei:
A margem de erro é
Logo o intervalo de
é
ou seja
Em porcentagem e arredondando:
.
Passo 6
(e) Interpretação: “amplitude de apenas
” significa largura total do intervalo igual a
. Então a margem de erro (meia-amplitude) deve ser
Mantendo o mesmo nível de confiança do item (d), ou seja
, usamos
. A fórmula para tamanho mínimo da amostra para proporção, quando se tem uma estimativa
, é
O enunciado forneceu o intervalo anterior
a
; o ponto central desse intervalo é aproximadamente
(isto é,
). Usamos esse
para planejar
.
Substituindo:
,
,
,
Calcule:
Arredondando para cima para garantir a precisão:
Observação pedagógica: se não tivéssemos boa estimativa de
, é comum usar o caso conservador
, que maximiza
e daria
ou seja
para garantir a amplitude independentemente do verdadeiro
. Como já tínhamos uma estimativa (
), o tamanho necessário cai para
.
Resposta
(a) Intervalo de
para a média:
galões.
(b) Tamanho da amostra para e
:
casas.
(c) Intervalo de para a média de moradores:
pessoas por residência.
(d) Intervalo de para a proporção de casas com abrandador:
.
(e) Tamanho mínimo da amostra para amplitude total (usando
):
(alternativamente, se não usar estimativa de
, caso conservador
dá
).
(b) Tamanho da amostra para
(c) Intervalo de
(d) Intervalo de
(e) Tamanho mínimo da amostra para amplitude total