Em 1997, o parlamento regional de Coimbra, em Portugal, discutiu diversas propostas para reformar o financiamento das escolas públicas. Alegava-se que o valor médio investido por aluno na região era
inferior à média nacional portuguesa, estimada em €5.541. Um estudo conduzido pela organização Cidadania Educativa, considerada referência em avaliações independentes, reportou uma média de 65.015 por aluno.
O presidente da Assembleia Legislativa, Miguel Madeira (Partido Democrático - Coimbra), afirmou que mais de 40 \% da população apoiava o plano do governador Joaquim Esteves de aumentar o imposto de renda regional em mais de 25 \% para financiar melhorias na educação. No entanto, o presidente do Senado, Jaime Pires (Partido Republicano - Vila Real), contestou essa afirmação, alegando que o apoio popular não era tão expressivo. Já o líder republicano Luís Dantas (Partido Republicano - Braga) declarou que o gasto médio por escola na região era de € 2.500 .000.
O assessor do governador para assuntos educacionais, Marcos Barros, realizou uma pesquisa de opinião pública. Descobriu que o gasto médio por aluno era de € 5.112, com base em uma amostra de 1.200 estudantes, assumindo um desvio padrão de € 1.254. Barros também verificou que, entre 25 escolas pesquisadas, a média de gasto por escola era de € 2.200 .000, com desvio padrão de €900.000. Além disso, entre os 1.000 contribuintes entrevistados, 355 afirmaram apoiar o plano do governador de aumentar os impostos para financiar a reforma educacional.
Compare os resultados da afirmação de Miguel Madeira com os de Jaime Pires. Mantenha \alpha=5 \%.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
  • A pergunta: comparar a afirmação de Miguel Madeira (“mais de 40\% da população apoia o plano”) com a posição de Jaime Pires (que dizia que o apoio não é tão expressivo). Devemos testar essa alegação usando os dados da pesquisa de \,1.000 contribuintes, mantendo \alpha=5\%.
  • Dados relevantes (vindos do enunciado):
    • tamanho da amostra: n=1.000 (contribuintes entrevistados);
    • número de apoiadores: x=355;
    • proporção amostral: \hat{p}=\dfrac{355}{1.000}=0,355.
  • A afirmação de Miguel é direcional: ele diz "mais de 40\%". Portanto a hipótese alternativa natural para a afirmação dele é \,p>0,40. Jaime Pires contesta isso, implicitamente sustentando que p não é maior que 0,40 (poderia ser p\le 0,40 ou mesmo p<0,40).
  • A nossa tarefa é usar um teste estatístico (nível \alpha=5\%) para ver se os dados apoiam a afirmação de Miguel ou, pelo contrário, apoiam a visão de Jaime.

Passo 2

Escolha do método e verificação das condições.
  • Método escolhido: teste z para proporção (aproximação normal), porque temos uma amostra de proporção (apoiadores/n). Esse é o método padrão para testar hipóteses sobre uma proporção quando n é grande.
  • Condições para usar a aproximação normal (regra prática): n p_0 \ge 5 e n(1-p_0)\ge 5, onde p_0 é a proporção sob a hipótese nula. Aqui tomamos p_0=0,40. Calculamos:
    \;n p_0 = 1.000\cdot 0,40 = 400 e \;n(1-p_0)=1.000\cdot 0,60 = 600.
    Ambas são muito maiores que 5, logo a aproximação normal é adequada.

Passo 3

Formulação das hipóteses (explicando o sentido de cada lado).
  • Se quisermos testar formalmente a afirmação de Miguel ("mais de 40\%"), montamos: H_0:\\ p=0,40 \qquad \text{vs.} \qquad H_1:\\ p>0,40.Aqui p é a verdadeira proporção de apoiadores na população. H_0 é a hipótese neutra (valor de referência) e H_1 é a afirmação de Miguel.
  • Observação importante (didática): como os dados mostram uma proporção \hat{p}=0,355 menor que 0,40, também é útil ver o teste na direção contrária (que é mais alinhado com Jaime): H_0:\\ p=0,40 \qquad \text{vs.} \qquad H_1:\\ p<0,40.Isso nos ajuda a avaliar se há evidência de que a proporção é significativamente menor que 40\%.

Passo 4

Fórmula do estatístico de teste e explicação das grandezas envolvidas.
  • Para teste de proporção usamos o estatístico z dado por: z \;=\; \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}.Onde:
    • \hat{p} é a proporção observada na amostra;
    • p_0 é a proporção sob H_0 (aqui 0,40);
    • n é o tamanho da amostra;
    • o denominador é o erro padrão (desvio padrão da proporção amostral) calculado assumindo H_0.
  • Intuição: o numerador mede o desvio observado entre a amostra e o valor hipotético; o denominador ajusta esse desvio pela variabilidade esperada da proporção amostral. Quanto maior o módulo de z, mais improvável que \hat{p} ocorra se H_0 for verdadeira.

Passo 5

Cálculo passo a passo dos números.
  • Proporção amostral: \hat{p}=\dfrac{355}{1.000}=0,355.
  • Erro padrão sob H_0: \text{SE}=\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\dfrac{0,40\cdot 0,60}{1.000}}=\sqrt{0,00024}=0,01549\;(\text{aprox.}).
  • Estatístico z: z=\frac{0,355-0,40}{0,01549}=\frac{-0,045}{0,01549}\approx -2,90.

Passo 6

Cálculo do p‑valor e interpretação para as duas direções possíveis.
  • Para o teste conforme a afirmação de Miguel ( H_1:\\ p>0,40) o p‑valor é a probabilidade de Z ser maior ou igual ao valor observado, isto é \text{p‑valor}_{\text{direita}}=P(Z\ge -2,90)=1-P(Z\le -2,90)\approx 1-0,0018=0,9982.Esse p‑valor é enorme (muito maior que \alpha=0,05), portanto não há nenhuma evidência a favor de H_1:\\ p>0,40. De fato a amostra está abaixo de 0,40.
  • Para o teste na direção oposta (que corresponde à posição de Jaime, H_1:\\ p<0,40) o p‑valor é \text{p‑valor}_{\text{esquerda}}=P(Z\le -2,90)\approx 0,0018.Esse p‑valor é bem menor que \alpha=0,05, logo há evidência estatística significativa de que p<0,40.

Passo 7

Conclusão estatística e interpretação prática (em linguagem simples, encorajadora).
  • Resultado em relação a Miguel: os dados não só não confirmam a afirmação dele de "mais de 40\%", como a proporção observada ( 35,5\%) é significativamente menor que 40\%. O teste unilateral para p>0,40 não rejeita H_0, e o sinal negativo do z mostra que a amostra vai na direção contrária. Portanto não podemos aceitar a afirmação de Miguel; na verdade os dados contradizem-na.
  • Resultado em relação a Jaime: há evidência estatística (p‑valor \approx 0,0018<0,05) de que a proporção de apoiadores é menor que 40\%. Isso dá suporte à contestação de Jaime Pires de que “o apoio popular não era tão expressivo”.
  • Interpretação prática: com os dados da pesquisa ( 355 em 1.000), existe forte evidência de que o apoio ao plano do governador é inferior a 40\%; portanto a afirmação de que “mais de 40\% apoiam” não é sustentada pelos dados.

Resposta

A afirmação de Miguel (mais de 40\% apoiam) não é confirmada pelos dados; o teste dá z\approx -2,90 e p‑valor (para H_1: p<0,40) \approx 0,0018, que é <0,05, logo há evidência estatística de que a proporção de apoio é menor que 40\%, apoiando a posição de Jaime Pires.

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