Em 1997, o parlamento regional de Coimbra, em Portugal, discutiu diversas propostas para reformar o financiamento das escolas públicas. Alegava-se que o valor médio investido por aluno na região era
inferior à média nacional portuguesa, estimada em €5.541. Um estudo conduzido pela organização Cidadania Educativa, considerada referência em avaliações independentes, reportou uma média de 65.015 por aluno.
O presidente da Assembleia Legislativa, Miguel Madeira (Partido Democrático - Coimbra), afirmou que mais de
da população apoiava o plano do governador Joaquim Esteves de aumentar o imposto de renda regional em mais de
para financiar melhorias na educação. No entanto, o presidente do Senado, Jaime Pires (Partido Republicano - Vila Real), contestou essa afirmação, alegando que o apoio popular não era tão expressivo. Já o líder republicano Luís Dantas (Partido Republicano - Braga) declarou que o gasto médio por escola na região era de
.
O assessor do governador para assuntos educacionais, Marcos Barros, realizou uma pesquisa de opinião pública. Descobriu que o gasto médio por aluno era de
, com base em uma amostra de 1.200 estudantes, assumindo um desvio padrão de
. Barros também verificou que, entre 25 escolas pesquisadas, a média de gasto por escola era de
, com desvio padrão de €900.000. Além disso, entre os 1.000 contribuintes entrevistados, 355 afirmaram apoiar o plano do governador de aumentar os impostos para financiar a reforma educacional.
Compare os resultados da afirmação de Miguel Madeira com os de Jaime Pires. Mantenha
.
inferior à média nacional portuguesa, estimada em €5.541. Um estudo conduzido pela organização Cidadania Educativa, considerada referência em avaliações independentes, reportou uma média de 65.015 por aluno.
O assessor do governador para assuntos educacionais, Marcos Barros, realizou uma pesquisa de opinião pública. Descobriu que o gasto médio por aluno era de
Compare os resultados da afirmação de Miguel Madeira com os de Jaime Pires. Mantenha
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
- A pergunta: comparar a afirmação de Miguel Madeira (“mais de
da população apoia o plano”) com a posição de Jaime Pires (que dizia que o apoio não é tão expressivo). Devemos testar essa alegação usando os dados da pesquisa de contribuintes, mantendo . - Dados relevantes (vindos do enunciado):
- tamanho da amostra:
(contribuintes entrevistados); - número de apoiadores:
; - proporção amostral:
.
- tamanho da amostra:
- A afirmação de Miguel é direcional: ele diz "mais de
". Portanto a hipótese alternativa natural para a afirmação dele é . Jaime Pires contesta isso, implicitamente sustentando que não é maior que (poderia ser ou mesmo ). - A nossa tarefa é usar um teste estatístico (nível
) para ver se os dados apoiam a afirmação de Miguel ou, pelo contrário, apoiam a visão de Jaime.
Passo 2
Escolha do método e verificação das condições.
- Método escolhido: teste z para proporção (aproximação normal), porque temos uma amostra de proporção (apoiadores/n). Esse é o método padrão para testar hipóteses sobre uma proporção quando
é grande. - Condições para usar a aproximação normal (regra prática):
e , onde é a proporção sob a hipótese nula. Aqui tomamos . Calculamos:
e .
Ambas são muito maiores que, logo a aproximação normal é adequada.
Passo 3
Formulação das hipóteses (explicando o sentido de cada lado).
- Se quisermos testar formalmente a afirmação de Miguel ("mais de
"), montamos: Aqui é a verdadeira proporção de apoiadores na população. é a hipótese neutra (valor de referência) e é a afirmação de Miguel. - Observação importante (didática): como os dados mostram uma proporção
menor que , também é útil ver o teste na direção contrária (que é mais alinhado com Jaime): Isso nos ajuda a avaliar se há evidência de que a proporção é significativamente menor que .
Passo 4
Fórmula do estatístico de teste e explicação das grandezas envolvidas.
- Para teste de proporção usamos o estatístico z dado por:
Onde: -
é a proporção observada na amostra; -
é a proporção sob (aqui ); -
é o tamanho da amostra; - o denominador é o erro padrão (desvio padrão da proporção amostral) calculado assumindo
.
-
- Intuição: o numerador mede o desvio observado entre a amostra e o valor hipotético; o denominador ajusta esse desvio pela variabilidade esperada da proporção amostral. Quanto maior o módulo de
, mais improvável que ocorra se for verdadeira.
Passo 5
Cálculo passo a passo dos números.
- Proporção amostral:
- Erro padrão sob
: - Estatístico z:
Passo 6
Cálculo do p‑valor e interpretação para as duas direções possíveis.
- Para o teste conforme a afirmação de Miguel (
) o p‑valor é a probabilidade de ser maior ou igual ao valor observado, isto é Esse p‑valor é enorme (muito maior que ), portanto não há nenhuma evidência a favor de . De fato a amostra está abaixo de . - Para o teste na direção oposta (que corresponde à posição de Jaime,
) o p‑valor é Esse p‑valor é bem menor que , logo há evidência estatística significativa de que .
Passo 7
Conclusão estatística e interpretação prática (em linguagem simples, encorajadora).
- Resultado em relação a Miguel: os dados não só não confirmam a afirmação dele de "mais de
", como a proporção observada ( ) é significativamente menor que . O teste unilateral para não rejeita , e o sinal negativo do mostra que a amostra vai na direção contrária. Portanto não podemos aceitar a afirmação de Miguel; na verdade os dados contradizem-na. - Resultado em relação a Jaime: há evidência estatística (p‑valor
) de que a proporção de apoiadores é menor que . Isso dá suporte à contestação de Jaime Pires de que “o apoio popular não era tão expressivo”. - Interpretação prática: com os dados da pesquisa (
em ), existe forte evidência de que o apoio ao plano do governador é inferior a ; portanto a afirmação de que “mais de apoiam” não é sustentada pelos dados.
Resposta
A afirmação de Miguel (mais de
apoiam) não é confirmada pelos dados; o teste dá
e p‑valor (para
)
, que é
, logo há evidência estatística de que a proporção de apoio é menor que
, apoiando a posição de Jaime Pires.