Considere a v.a. X cuja f.p. é dada na tabela abaixo:
x
-2
-1
0
1
2
3
p_{X}(x)
0,1
0,2
0,2
0,3
0,1
0,1
Consideremos a função Y=g(X)=X^{2}
a) Obtenha a distribuição de probabilidades da v.a. Y.
b) Qual é a média, a variância e o desvio padrão de Y ?
c) Calcule a função de distribuição acumulada de Y, F(y), e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a variável aleatória X com a função massa de probabilidade (f.p.) indicada na tabela abaixo e pede a análise da variável Y=g(X)=X^{2}.
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são:
(b) Calcular a média \mathbb{E}[Y], a variância \mathrm{Var}(Y) e o desvio padrão \sigma_Y.
(c) Calcular a função de distribuição acumulada F_Y(y)=P(Y\le y) e esboçar o gráfico (ou descrever como esboçá-lo).
Passo 2
Primeiro vamos listar os valores possíveis de Y quando Y=X^{2}. Para cada valor de x dado, calculamos y=x^{2}:
\begin{aligned} x=-2 &\longrightarrow y = (-2)^{2}=4,\\\ x=-1 &\longrightarrow y = (-1)^{2}=1,\\\ x=0 &\longrightarrow y = 0^{2}=0,\\\ x=1 &\longrightarrow y = 1^{2}=1,\\\ x=2 &\longrightarrow y = 2^{2}=4,\\\ x=3 &\longrightarrow y = 3^{2}=9. \end{aligned}
Note que os valores distintos de Y são 0,1,4,9. Alguns valores de X colapsam no mesmo y (por exemplo, x=-1 e x=1 dão y=1) — isso é importante para somar probabilidades.
Passo 3
Agora construímos a f.p. de Y. Para cada valor y somamos as probabilidades dos x que geram esse y:
(Eu arredondei para duas casas decimais; se quiser mais precisão, \sqrt{6,96}\approx 2,639\ldots.)
Passo 7
Agora a função de distribuição acumulada F_{Y}(y)=P(Y\le y). Como Y é discreta com os valores 0,1,4,9, F_{Y}(y) é uma função em degraus. Calculamos os valores por intervalos:
Para y<0: não há valores de Y menores ou iguais a y, então F_{Y}(y)=0.
Para 0\le y<1: apenas Y=0 está \le y, logo F_{Y}(y)=P(Y=0)=0,2.
Para 1\le y<4: entram Y=0 e Y=1, então F_{Y}(y)=0,2+0,5=0,7.
Para 4\le y<9: entram Y=0,1,4, então F_{Y}(y)=0,2+0,5+0,2=0,9.
Para y\ge 9: todos os valores estão \le y, então F_{Y}(y)=1.
Em forma de função por partes (direito-continua, típico para CDFs):
Como esboçar o gráfico (passo a passo para a prova):
No eixo horizontal coloque y, no vertical F_{Y}(y).
Para y<0 trace uma linha horizontal em 0.
Em y=0 faz-se um salto até 0,2. Como a CDF é normalmente direita-continua, coloque um ponto fechado em (0,0,2) e um ponto aberto em (0,0) (ou simplesmente mostre que à esquerda vale 0 e no ponto vale 0,2).
Para 0<y<1 trace linha horizontal em 0,2.
Em y=1 salto até 0,7; desenhe ponto fechado em (1,0,7) e aberto em (1,0,2).
Para 1<y<4 linha horizontal em 0,7.
Em y=4 salto até 0,9; ponto fechado em (4,0,9) e aberto em (4,0,7).
Para 4<y<9 linha horizontal em 0,9.
Em y=9 salto até 1; ponto fechado em (9,1) e aberto em (9,0,9).
Para y>9 mantenha F_{Y}(y)=1.
Esse esboço mostra os degraus (saltos) cuja altura de cada salto é exatamente a probabilidade pontual p_Y(y).