Considere a v.a. X cuja f.p. é dada na tabela abaixo:
x -2 -1 0 1 2 3
p_{X}(x) 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 0,1
Consideremos a função Y=g(X)=X^{2}
a) Obtenha a distribuição de probabilidades da v.a. Y.
b) Qual é a média, a variância e o desvio padrão de Y ?
c) Calcule a função de distribuição acumulada de Y, F(y), e esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a variável aleatória X com a função massa de probabilidade (f.p.) indicada na tabela abaixo e pede a análise da variável Y=g(X)=X^{2}.
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são:
\begin{array}{c|rrrrrr} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\hline p_X(x) & 0,1 & 0,2 & 0,2 & 0,3 & 0,1 & 0,1 \end{array}
O que é pedido:
  1. (a) Obter a distribuição de probabilidades de Y.
  2. (b) Calcular a média \mathbb{E}[Y], a variância \mathrm{Var}(Y) e o desvio padrão \sigma_Y.
  3. (c) Calcular a função de distribuição acumulada F_Y(y)=P(Y\le y) e esboçar o gráfico (ou descrever como esboçá-lo).

Passo 2

Primeiro vamos listar os valores possíveis de Y quando Y=X^{2}. Para cada valor de x dado, calculamos y=x^{2}:
\begin{aligned} x=-2 &\longrightarrow y = (-2)^{2}=4,\\\ x=-1 &\longrightarrow y = (-1)^{2}=1,\\\ x=0 &\longrightarrow y = 0^{2}=0,\\\ x=1 &\longrightarrow y = 1^{2}=1,\\\ x=2 &\longrightarrow y = 2^{2}=4,\\\ x=3 &\longrightarrow y = 3^{2}=9. \end{aligned}
Note que os valores distintos de Y são 0,1,4,9. Alguns valores de X colapsam no mesmo y (por exemplo, x=-1 e x=1 dão y=1) — isso é importante para somar probabilidades.

Passo 3

Agora construímos a f.p. de Y. Para cada valor y somamos as probabilidades dos x que geram esse y:
  • P(Y=0)=P(X=0)=0,2.
  • P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1)=0,2+0,3=0,5.
  • P(Y=4)=P(X=-2)+P(X=2)=0,1+0,1=0,2.
  • P(Y=9)=P(X=3)=0,1.
Verificação rápida: 0,2+0,5+0,2+0,1=1, ok.
Portanto a distribuição de Y é:
\begin{array}{c|rrrr} y & 0 & 1 & 4 & 9 \\hline p_Y(y) & 0,2 & 0,5 & 0,2 & 0,1 \end{array}

Passo 4

Vamos calcular a esperança \mathbb{E}[Y]. Para uma v.a. discreta, a fórmula é
\mathbb{E}[Y]=\sum_{y} y\;p_Y(y),
onde a soma é sobre todos os valores possíveis de y. Aplicando aos nossos valores:
\mathbb{E}[Y]=0\cdot 0,2 + 1\cdot 0,5 + 4\cdot 0,2 + 9\cdot 0,1.
Calculando termo a termo:
0\cdot 0,2 = 0,\quad 1\cdot 0,5=0,5,\quad 4\cdot 0,2=0,8,\quad 9\cdot 0,1=0,9.
Somando:
\mathbb{E}[Y]=0+0,5+0,8+0,9=2,2.

Passo 5

Para a variância usamos a fórmula
\mathrm{Var}(Y)=\mathbb{E}[Y^{2}] - \big(\mathbb{E}[Y]\big)^{2},
onde \mathbb{E}[Y^{2}]=\sum_{y} y^{2} p_Y(y). Calculamos \mathbb{E}[Y^{2}]:
\mathbb{E}[Y^{2}]=0^{2}\cdot 0,2 + 1^{2}\cdot 0,5 + 4^{2}\cdot 0,2 + 9^{2}\cdot 0,1.
Calculando cada termo:
0^{2}\cdot 0,2=0,\quad 1^{2}\cdot 0,5=0,5,\quad 4^{2}\cdot 0,2=16\cdot 0,2=3,2,\quad 9^{2}\cdot 0,1=81\cdot 0,1=8,1.
Somando:
\mathbb{E}[Y^{2}]=0+0,5+3,2+8,1=11,8.
Agora a variância:
\mathrm{Var}(Y)=11,8 - (2,2)^{2}=11,8 - 4,84 = 6,96.

Passo 6

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_{Y}=\sqrt{\mathrm{Var}(Y)}=\sqrt{6,96}\approx 2,64.
(Eu arredondei para duas casas decimais; se quiser mais precisão, \sqrt{6,96}\approx 2,639\ldots.)

Passo 7

Agora a função de distribuição acumulada F_{Y}(y)=P(Y\le y). Como Y é discreta com os valores 0,1,4,9, F_{Y}(y) é uma função em degraus. Calculamos os valores por intervalos:
  • Para y<0: não há valores de Y menores ou iguais a y, então F_{Y}(y)=0.
  • Para 0\le y<1: apenas Y=0 está \le y, logo F_{Y}(y)=P(Y=0)=0,2.
  • Para 1\le y<4: entram Y=0 e Y=1, então F_{Y}(y)=0,2+0,5=0,7.
  • Para 4\le y<9: entram Y=0,1,4, então F_{Y}(y)=0,2+0,5+0,2=0,9.
  • Para y\ge 9: todos os valores estão \le y, então F_{Y}(y)=1.
Em forma de função por partes (direito-continua, típico para CDFs):
F_{Y}(y)= \begin{cases} 0, & y<0,\\[4pt] 0,2, & 0\le y<1,\\[4pt] 0,7, & 1\le y<4,\\[4pt] 0,9, & 4\le y<9,\\[4pt] 1, & y\ge 9. \end{cases}]

Passo 8

Como esboçar o gráfico (passo a passo para a prova):
  • No eixo horizontal coloque y, no vertical F_{Y}(y).
  • Para y<0 trace uma linha horizontal em 0.
  • Em y=0 faz-se um salto até 0,2. Como a CDF é normalmente direita-continua, coloque um ponto fechado em (0,0,2) e um ponto aberto em (0,0) (ou simplesmente mostre que à esquerda vale 0 e no ponto vale 0,2).
  • Para 0<y<1 trace linha horizontal em 0,2.
  • Em y=1 salto até 0,7; desenhe ponto fechado em (1,0,7) e aberto em (1,0,2).
  • Para 1<y<4 linha horizontal em 0,7.
  • Em y=4 salto até 0,9; ponto fechado em (4,0,9) e aberto em (4,0,7).
  • Para 4<y<9 linha horizontal em 0,9.
  • Em y=9 salto até 1; ponto fechado em (9,1) e aberto em (9,0,9).
  • Para y>9 mantenha F_{Y}(y)=1.
Esse esboço mostra os degraus (saltos) cuja altura de cada salto é exatamente a probabilidade pontual p_Y(y).

Resposta

p_Y(0)=0,2
p_Y(1)=0,5
p_Y(4)=0,2
p_Y(9)=0,1
\mathbb{E}[Y]=2,2
\mathrm{Var}(Y)=6,96
\sigma_{Y}=\sqrt{6,96}\approx 2,64
F_{Y}(y)= \begin{cases} 0, & y<0,\\[4pt] 0,2, & 0\le y<1,\\[4pt] 0,7, & 1\le y<4,\\[4pt] 0,9, & 4\le y<9,\\[4pt] 1, & y\ge 9. \end{cases}]

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