Em 1997, o parlamento regional de Coimbra, em Portugal, discutiu diversas propostas para reformar o financiamento das escolas públicas. Alegava-se que o valor médio investido por aluno na região era
inferior à média nacional portuguesa, estimada em €5.541. Um estudo conduzido pela organização Cidadania Educativa, considerada referência em avaliações independentes, reportou uma média de 65.015 por aluno.
O presidente da Assembleia Legislativa, Miguel Madeira (Partido Democrático - Coimbra), afirmou que mais de
da população apoiava o plano do governador Joaquim Esteves de aumentar o imposto de renda regional em mais de
para financiar melhorias na educação. No entanto, o presidente do Senado, Jaime Pires (Partido Republicano - Vila Real), contestou essa afirmação, alegando que o apoio popular não era tão expressivo. Já o líder republicano Luís Dantas (Partido Republicano - Braga) declarou que o gasto médio por escola na região era de
.
O assessor do governador para assuntos educacionais, Marcos Barros, realizou uma pesquisa de opinião pública. Descobriu que o gasto médio por aluno era de
, com base em uma amostra de 1.200 estudantes, assumindo um desvio padrão de
. Barros também verificou que, entre 25 escolas pesquisadas, a média de gasto por escola era de
, com desvio padrão de €900.000. Além disso, entre os 1.000 contribuintes entrevistados, 355 afirmaram apoiar o plano do governador de aumentar os impostos para financiar a reforma educacional.
Teste a hipótese apresentada pela organização Cidadania Educativa com nível de significância de
. Calcule o valor
.
inferior à média nacional portuguesa, estimada em €5.541. Um estudo conduzido pela organização Cidadania Educativa, considerada referência em avaliações independentes, reportou uma média de 65.015 por aluno.
O assessor do governador para assuntos educacionais, Marcos Barros, realizou uma pesquisa de opinião pública. Descobriu que o gasto médio por aluno era de
Teste a hipótese apresentada pela organização Cidadania Educativa com nível de significância de
Passo 1
O enunciado pede que eu teste a hipótese apresentada pela organização Cidadania Educativa sobre o gasto médio por aluno, usando nível de significância de
, e que eu calcule o valor
(o p-valor). Informações relevantes fornecidas no enunciado e que vou usar:
- A organização Cidadania Educativa reportou uma média de
por aluno. Vou interpretar, conforme o formato numérico do enunciado (pontos como separador de milhares), que isso significa euros (ou seja, sessenta e cinco mil e quinze euros). Se o enunciado quisesse outra interpretação numérica isso não foi explicitado, então sigo essa interpretação. - A pesquisa do assessor Marcos Barros deu média amostral por aluno
euros. - Tamanho da amostra
. - Desvio-padrão amostral
euros (usado como estimativa do desvio-padrão populacional). - Nível de significância
(ou seja, ).
As perguntas a responder: (1) testar a hipótese da organização Cidadania Educativa ao nível de
; (2) calcular o p-valor do teste.
Passo 2
Escolha do tipo de teste e formulação das hipóteses. Como temos uma amostra grande (
) e queremos comparar a média amostral com um valor hipotético
, o procedimento padrão é um teste para a média. Vou usar um teste aproximado z (teste paramétrico para média) apoiado no Teorema do Limite Central: com amostras grandes a distribuição da média amostral é aproximadamente normal, mesmo quando não conhecemos perfeitamente a distribuição original. As hipóteses (teste bilateral, porque a organização afirma um valor específico da média) são:
Explicando a escolha: não foi expresso no enunciado que se tratava de testar “maior” ou “menor”, apenas que a organização reportou um valor; portanto o teste bilateral é a forma conservadora e natural. Como
é grande, substituímos o desvio-padrão populacional por
e usamos a aproximação normal (z).
Passo 3
Fórmula do estatístico de teste e significado das variáveis. Usamos o estatístico z definido por:
onde:
-
é a média amostral (aqui ), -
é o valor hipotetizado de média segundo (aqui ), -
é o desvio-padrão amostral (aqui ), -
é o tamanho da amostra (aqui ), -
é o erro padrão da média (a estimativa da variabilidade da média amostral).
Passo 4
Cálculo do erro padrão e do estatístico z, passo a passo (contas detalhadas para eu poder refazer na prova):
Primeiro calculo a raiz quadrada de :
Primeiro calculo a raiz quadrada de
Agora o erro padrão:
(para verificar:
).
Agora o valor de :
Agora o valor de
Calculo a diferença do numerador:
Logo
Passo 5
Interpretação do valor de
e cálculo do p-valor. O p-valor para um teste bilateral com estatístico z é
onde
é uma variável aleatória com distribuição Normal padrão
. Aqui
é um valor negativo com magnitude absurdamente grande. Na tabela ou nas funções de computador para a normal padrão, a probabilidade de observar
menor que
é essencialmente zero — um número extremamente pequeno, muito menor que qualquer limite numérico usual (por exemplo, menor que
). Portanto:
Em termos práticos, o p-valor é tão próximo de zero que podemos considerá-lo nulo para qualquer aplicação real. Assim
.
Passo 6
Conclusão do teste ao nível de significância
. Regra de decisão: rejeitamos
se
. Como
é praticamente zero e portanto
, rejeitamos a hipótese nula. Em palavras: os dados da amostra (média
em
) são incompatíveis com a média de
euros afirmada pela organização; rejeitamos essa hipótese ao nível de
.
Resposta
Rejeitamos
ao nível de
.
(praticamente zero).