Em 1997, o parlamento regional de Coimbra, em Portugal, discutiu diversas propostas para reformar o financiamento das escolas públicas. Alegava-se que o valor médio investido por aluno na região era
inferior à média nacional portuguesa, estimada em €5.541. Um estudo conduzido pela organização Cidadania Educativa, considerada referência em avaliações independentes, reportou uma média de 65.015 por aluno.
O presidente da Assembleia Legislativa, Miguel Madeira (Partido Democrático - Coimbra), afirmou que mais de 40 \% da população apoiava o plano do governador Joaquim Esteves de aumentar o imposto de renda regional em mais de 25 \% para financiar melhorias na educação. No entanto, o presidente do Senado, Jaime Pires (Partido Republicano - Vila Real), contestou essa afirmação, alegando que o apoio popular não era tão expressivo. Já o líder republicano Luís Dantas (Partido Republicano - Braga) declarou que o gasto médio por escola na região era de € 2.500 .000.
O assessor do governador para assuntos educacionais, Marcos Barros, realizou uma pesquisa de opinião pública. Descobriu que o gasto médio por aluno era de € 5.112, com base em uma amostra de 1.200 estudantes, assumindo um desvio padrão de € 1.254. Barros também verificou que, entre 25 escolas pesquisadas, a média de gasto por escola era de € 2.200 .000, com desvio padrão de €900.000. Além disso, entre os 1.000 contribuintes entrevistados, 355 afirmaram apoiar o plano do governador de aumentar os impostos para financiar a reforma educacional.
Teste a hipótese apresentada pela organização Cidadania Educativa com nível de significância de 1 \%. Calcule o valor p.

Passo 1

O enunciado pede que eu teste a hipótese apresentada pela organização Cidadania Educativa sobre o gasto médio por aluno, usando nível de significância de 1\%, e que eu calcule o valor p (o p-valor). Informações relevantes fornecidas no enunciado e que vou usar:
  • A organização Cidadania Educativa reportou uma média de 65.015 por aluno. Vou interpretar, conforme o formato numérico do enunciado (pontos como separador de milhares), que isso significa \mu_0 = 65.015 euros (ou seja, sessenta e cinco mil e quinze euros). Se o enunciado quisesse outra interpretação numérica isso não foi explicitado, então sigo essa interpretação.
  • A pesquisa do assessor Marcos Barros deu média amostral por aluno \bar{x} = 5112 euros.
  • Tamanho da amostra n = 1200.
  • Desvio-padrão amostral s = 1254 euros (usado como estimativa do desvio-padrão populacional).
  • Nível de significância \alpha = 0,01 (ou seja, 1\%).
As perguntas a responder: (1) testar a hipótese da organização Cidadania Educativa ao nível de 1\%; (2) calcular o p-valor do teste.

Passo 2

Escolha do tipo de teste e formulação das hipóteses. Como temos uma amostra grande ( n=1200) e queremos comparar a média amostral com um valor hipotético \mu_0, o procedimento padrão é um teste para a média. Vou usar um teste aproximado z (teste paramétrico para média) apoiado no Teorema do Limite Central: com amostras grandes a distribuição da média amostral é aproximadamente normal, mesmo quando não conhecemos perfeitamente a distribuição original. As hipóteses (teste bilateral, porque a organização afirma um valor específico da média) são:
H_0:\\ \mu = \mu_0 = 65.015
H_1:\\ \mu \neq \mu_0
Explicando a escolha: não foi expresso no enunciado que se tratava de testar “maior” ou “menor”, apenas que a organização reportou um valor; portanto o teste bilateral é a forma conservadora e natural. Como n é grande, substituímos o desvio-padrão populacional por s e usamos a aproximação normal (z).

Passo 3

Fórmula do estatístico de teste e significado das variáveis. Usamos o estatístico z definido por:
z \;=\; \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=5112),
  • \mu_0 é o valor hipotetizado de média segundo H_0 (aqui \mu_0=65.015),
  • s é o desvio-padrão amostral (aqui s=1254),
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=1200),
  • s/\sqrt{n} é o erro padrão da média (a estimativa da variabilidade da média amostral).

Passo 4

Cálculo do erro padrão e do estatístico z, passo a passo (contas detalhadas para eu poder refazer na prova):
Primeiro calculo a raiz quadrada de n:
\sqrt{n}=\sqrt{1200}=10\sqrt{12}\approx 34{,}641016
Agora o erro padrão:
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1254}{34{,}641016}\approx 36{,}207
(para verificar: 36{,}207\times 34{,}641016\approx 1254).
Agora o valor de z:
z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\text{SE}}=\frac{5112-65\,015}{36{,}207}.
Calculo a diferença do numerador:
5112-65\,015 = -59\,903.
Logo
z \approx \frac{-59\,903}{36{,}207}\approx -1654{,}1.

Passo 5

Interpretação do valor de z e cálculo do p-valor. O p-valor para um teste bilateral com estatístico z é
p = 2\cdot P(Z \le z)
onde Z é uma variável aleatória com distribuição Normal padrão N(0,1). Aqui z\approx -1654{,}1 é um valor negativo com magnitude absurdamente grande. Na tabela ou nas funções de computador para a normal padrão, a probabilidade de observar Z menor que -1654{,}1 é essencialmente zero — um número extremamente pequeno, muito menor que qualquer limite numérico usual (por exemplo, menor que 10^{-300}). Portanto:
p \approx 0\quad(\text{praticamente }0).
Em termos práticos, o p-valor é tão próximo de zero que podemos considerá-lo nulo para qualquer aplicação real. Assim p \ll 0{,}01.

Passo 6

Conclusão do teste ao nível de significância 1\%. Regra de decisão: rejeitamos H_0 se p<\alpha. Como p é praticamente zero e portanto p<0{,}01, rejeitamos a hipótese nula. Em palavras: os dados da amostra (média \bar{x}=5112 em n=1200) são incompatíveis com a média de \mu_0=65.015 euros afirmada pela organização; rejeitamos essa hipótese ao nível de 1\%.

Resposta

Rejeitamos H_0 ao nível de 1\%.
p\text{-valor}\approx 0 (praticamente zero).

Exercícios relacionados