1a. Questão) Complete com “C” ou “E” conforme as alternativas sejam consideradas certas ơu erradas respectivamente (1 ponto).
(C) Em sistema de segunda ordem, sub amortecido, a frequência de ressonância é menor que o coeficiente de amortecimento alfa.
(C) As raízes da equação característica de um sistema de segunda ordem sobre amortecido são reais e diferentes.
(E) A frequência de oscilação de um sistema de segunda ordem é igual a frequência natural, quando há amortecimento.
(E) A constante de tempo de um sistema RL de primeira ordem é calculada pela relação L/2R.
(E) A constante de tempo de um sistema RC de primeira ordern é calculada pela relação 1 / 2 R C.

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique cada afirmação como correta (“C”) ou errada (“E”). As afirmações são (copiadas do enunciado):
  1. Em sistema de segunda ordem, sub amortecido, a frequência de ressonância é menor que o coeficiente de amortecimento \alpha.
  2. As raízes da equação característica de um sistema de segunda ordem sobre amortecido são reais e diferentes.
  3. A frequência de oscilação de um sistema de segunda ordem é igual à frequência natural, quando há amortecimento.
  4. A constante de tempo de um sistema RL de primeira ordem é calculada pela relação \displaystyle \frac{L}{2R}.
  5. A constante de tempo de um sistema RC de primeira ordem é calculada pela relação \displaystyle \frac{1}{2RC}.
Essas são as cinco perguntas que precisamos julgar como certas ou erradas. Agora vou explicar passo a passo a teoria necessária e aplicar a cada afirmação.

Passo 2

Primeira lição rápida (mas completa) sobre sistemas de segunda ordem — vamos definir notações e fórmulas que vou usar:
  • A equação característica padrão que uso aqui é
s^{2} + 2\alpha s + \omega_{n}^{2} = 0,
onde:
  • \omega_{n} é a frequência natural (em rad/s) — é a frequência do sistema sem amortecimento;
  • \alpha é o coeficiente de amortecimento (tem unidades de rad/s). Observação: muitas vezes usa-se a razão de amortecimento \zeta com 2\alpha = 2\zeta\omega_{n}, então \alpha = \zeta \omega_{n}. Vou usar \alpha como dado no enunciado.
  • As raízes (pólos) dessa equação são
s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2} - \omega_{n}^{2}}.
  • Se \alpha > \omega_{n} então \alpha^{2}-\omega_{n}^{2}>0 e as raízes são reais e distintas (sobreamortecido).
  • Se \alpha = \omega_{n} as raízes são reais e iguais (críticamente amortecido).
  • Se \alpha < \omega_{n} as raízes são complexas conjugadas (subamortecido); escreve-se
s = -\alpha \pm j\omega_{d}, \qquad\text{com}\qquad \omega_{d} = \sqrt{\omega_{n}^{2} - \alpha^{2}}.
Aqui \omega_{d} é a frequência de oscilação (frequência amortecida) — é a frequência das oscilações reais do sistema quando \alpha>0.

Passo 3

Agora — o que é a frequência de ressonância? Para muitos sistemas de segunda ordem (por exemplo resposta em frequência com ganho unitário em baixa frequência), existe uma frequência em que a amplitude da resposta em regime é máxima; essa é a frequência de pico/resonância \omega_{r}. Para o caso clássico de segunda ordem, quando existe pico, tem-se
\omega_{r} = \omega_{n}\sqrt{1 - 2\zeta^{2}},
onde \zeta é a razão de amortecimento. Em termos de \alpha (lembrando \alpha=\zeta\omega_{n}) isso fica
\omega_{r} = \sqrt{\omega_{n}^{2} - 2\alpha^{2}}.
Importante: essa fórmula só dá número real (isto é, existe pico/resonância) quando
1 - 2\zeta^{2} > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \zeta < \frac{1}{\sqrt{2}}
ou em termos de \alpha
\alpha < \frac{\omega_{n}}{\sqrt{2}}.
Se \zeta \ge 1/\sqrt{2} (ou \alpha \ge \omega_{n}/\sqrt{2}) não há pico de ressonância (a resposta em frequência não tem máximo acima do ganho DC de referência).

Passo 4

Analisando a afirmação 1 com a matemática clara: a afirmação diz que, no caso subamortecido, a frequência de ressonância é menor que \alpha. Em notação:
querem dizer \omega_{r} < \alpha para sistema subamortecido.
Usando \omega_{r} = \sqrt{\omega_{n}^{2} - 2\alpha^{2}}, compare com \alpha. Vamos estudar quando \omega_{r} < \alpha:
\sqrt{\omega_{n}^{2} - 2\alpha^{2}} < \alpha
elevar ao quadrado (posso porque ambos lados não-negativos no caso em que \omega_{r} existe):
\omega_{n}^{2} - 2\alpha^{2} < \alpha^{2}
\omega_{n}^{2} < 3\alpha^{2}
\alpha > \frac{\omega_{n}}{\sqrt{3}}.
Portanto \omega_{r} < \alpha só ocorre quando \displaystyle \frac{\omega_{n}}{\sqrt{3}} < \alpha < \frac{\omega_{n}}{\sqrt{2}} (lembre que \omega_{r} existe somente se \alpha < \frac{\omega_{n}}{\sqrt{2}}). Se \alpha for menor que \omega_{n}/\sqrt{3} então \omega_{r} > \alpha. Conclusão: a afirmação "em sistema subamortecido, \omega_{r}<\alpha" não é verdadeira para todo sistema subamortecido — depende do valor de \alpha. Logo a afirmação é errada (não universal).

Passo 5

Afirmação 2: “As raízes da equação característica de um sistema de segunda ordem sobre amortecido são reais e diferentes.”
Já vimos na Passo 2 que para sobreamortecido (ou seja, quando \alpha > \omega_{n}) o discriminante \alpha^{2}-\omega_{n}^{2} é positivo, logo as raízes
s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2} - \omega_{n}^{2}}
são reais e distintas. Portanto essa afirmação é correta.

Passo 6

Afirmação 3: “A frequência de oscilação de um sistema de segunda ordem é igual à frequência natural, quando há amortecimento.”
A frequência de oscilação real do sistema subamortecido é a frequência amortecida
\omega_{d} = \sqrt{\omega_{n}^{2} - \alpha^{2}}.
Se houver amortecimento não nulo ( \alpha>0) então \omega_{d} < \omega_{n}. Somente no caso sem amortecimento ( \alpha=0) se tem \omega_{d}=\omega_{n}. Logo a afirmação como escrita (dizendo que com amortecimento a frequência de oscilação é igual à natural) é falsa.

Passo 7

Afirmação 4: “A constante de tempo de um sistema RL de primeira ordem é calculada pela relação \displaystyle \frac{L}{2R}.”
Vamos relembrar a derivação simples do tempo de um circuito RL série. A equação diferencial de um circuito RL alimentado por uma fonte é
L\frac{di}{dt} + R i = V(t).
Colocando na forma padrão
\frac{di}{dt} + \frac{R}{L} i = \frac{V(t)}{L}.
A constante de tempo natural \tau é o inverso do coeficiente que multiplica i no lado esquerdo, ou seja
\tau = \frac{L}{R}.
Portanto a dada \displaystyle \frac{L}{2R} está errada. A correta é \displaystyle \tau=\frac{L}{R}.

Passo 8

Afirmação 5: “A constante de tempo de um sistema RC de primeira ordem é calculada pela relação \displaystyle \frac{1}{2RC}.”
Analogamente, para um circuito RC (por exemplo resistor em série com um capacitor e observando a tensão no capacitor), a equação é
RC\frac{d v_C}{dt} + v_C = \text{(fonte ajustada)},
ou, na forma padrão,
\frac{d v_C}{dt} + \frac{1}{RC} v_C = \cdots.
A constante de tempo é
\tau = RC.
Logo \displaystyle \frac{1}{2RC} está incorreto. A correta é \tau=RC.

Passo 9

Resumo das conclusões (sem rodeios): com base nas explicações acima, as respostas corretas para as cinco afirmações são:
  • 1: Errada (porque \omega_{r}<\alpha não é verdade para todo sistema subamortecido; depende de \alpha).
  • 2: Correta (sobreamortecido \Rightarrow raízes reais e distintas).
  • 3: Errada (frequência de oscilação amortecida \omega_{d}<\omega_{n} quando \alpha>0).
  • 4: Errada (constante de tempo RL: \tau=\dfrac{L}{R}, não \dfrac{L}{2R}).
  • 5: Errada (constante de tempo RC: \tau=RC, não \dfrac{1}{2RC}).

Resposta

E
C
E
E
E

Exercícios relacionados