1a. Questão) Complete com “C” ou “E” conforme as alternativas sejam consideradas certas ơu erradas respectivamente (1 ponto).
(C) Em sistema de segunda ordem, sub amortecido, a frequência de ressonância é menor que o coeficiente de amortecimento alfa.
(C) As raízes da equação característica de um sistema de segunda ordem sobre amortecido são reais e diferentes.
(E) A frequência de oscilação de um sistema de segunda ordem é igual a frequência natural, quando há amortecimento.
(E) A constante de tempo de um sistema RL de primeira ordem é calculada pela relação L/2R.
(E) A constante de tempo de um sistema RC de primeira ordern é calculada pela relação
.
(C) Em sistema de segunda ordem, sub amortecido, a frequência de ressonância é menor que o coeficiente de amortecimento alfa.
(C) As raízes da equação característica de um sistema de segunda ordem sobre amortecido são reais e diferentes.
(E) A frequência de oscilação de um sistema de segunda ordem é igual a frequência natural, quando há amortecimento.
(E) A constante de tempo de um sistema RL de primeira ordem é calculada pela relação L/2R.
(E) A constante de tempo de um sistema RC de primeira ordern é calculada pela relação
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique cada afirmação como correta (“C”) ou errada (“E”). As afirmações são (copiadas do enunciado):
-
Em sistema de segunda ordem, sub amortecido, a frequência de ressonância é menor que o coeficiente de amortecimento
. -
As raízes da equação característica de um sistema de segunda ordem sobre amortecido são reais e diferentes.
-
A frequência de oscilação de um sistema de segunda ordem é igual à frequência natural, quando há amortecimento.
-
A constante de tempo de um sistema RL de primeira ordem é calculada pela relação
. -
A constante de tempo de um sistema RC de primeira ordem é calculada pela relação
.
Essas são as cinco perguntas que precisamos julgar como certas ou erradas. Agora vou explicar passo a passo a teoria necessária e aplicar a cada afirmação.
Passo 2
Primeira lição rápida (mas completa) sobre sistemas de segunda ordem — vamos definir notações e fórmulas que vou usar:
- A equação característica padrão que uso aqui é
onde:
-
é a frequência natural (em rad/s) — é a frequência do sistema sem amortecimento; -
é o coeficiente de amortecimento (tem unidades de rad/s). Observação: muitas vezes usa-se a razão de amortecimento com , então . Vou usar como dado no enunciado. -
As raízes (pólos) dessa equação são
- Se
então e as raízes são reais e distintas (sobreamortecido). - Se
as raízes são reais e iguais (críticamente amortecido). - Se
as raízes são complexas conjugadas (subamortecido); escreve-se
Aqui
é a frequência de oscilação (frequência amortecida) — é a frequência das oscilações reais do sistema quando
.
Passo 3
Agora — o que é a frequência de ressonância? Para muitos sistemas de segunda ordem (por exemplo resposta em frequência com ganho unitário em baixa frequência), existe uma frequência em que a amplitude da resposta em regime é máxima; essa é a frequência de pico/resonância
. Para o caso clássico de segunda ordem, quando existe pico, tem-se
onde
é a razão de amortecimento. Em termos de
(lembrando
) isso fica
Importante: essa fórmula só dá número real (isto é, existe pico/resonância) quando
ou em termos de
Se
(ou
) não há pico de ressonância (a resposta em frequência não tem máximo acima do ganho DC de referência).
Passo 4
Analisando a afirmação 1 com a matemática clara: a afirmação diz que, no caso subamortecido, a frequência de ressonância é menor que
. Em notação:
querem dizer para sistema subamortecido.
querem dizer
Usando
, compare com
. Vamos estudar quando
:
elevar ao quadrado (posso porque ambos lados não-negativos no caso em que
existe):
Portanto
só ocorre quando
(lembre que
existe somente se
). Se
for menor que
então
. Conclusão: a afirmação "em sistema subamortecido,
" não é verdadeira para todo sistema subamortecido — depende do valor de
. Logo a afirmação é errada (não universal).
Passo 5
Afirmação 2: “As raízes da equação característica de um sistema de segunda ordem sobre amortecido são reais e diferentes.”
Já vimos na Passo 2 que para sobreamortecido (ou seja, quando
) o discriminante
é positivo, logo as raízes
são reais e distintas. Portanto essa afirmação é correta.
Passo 6
Afirmação 3: “A frequência de oscilação de um sistema de segunda ordem é igual à frequência natural, quando há amortecimento.”
A frequência de oscilação real do sistema subamortecido é a frequência amortecida
Se houver amortecimento não nulo (
) então
. Somente no caso sem amortecimento (
) se tem
. Logo a afirmação como escrita (dizendo que com amortecimento a frequência de oscilação é igual à natural) é falsa.
Passo 7
Afirmação 4: “A constante de tempo de um sistema RL de primeira ordem é calculada pela relação
.”
Vamos relembrar a derivação simples do tempo de um circuito RL série. A equação diferencial de um circuito RL alimentado por uma fonte é
Colocando na forma padrão
A constante de tempo natural
é o inverso do coeficiente que multiplica
no lado esquerdo, ou seja
Portanto a dada
está errada. A correta é
.
Passo 8
Afirmação 5: “A constante de tempo de um sistema RC de primeira ordem é calculada pela relação
.”
Analogamente, para um circuito RC (por exemplo resistor em série com um capacitor e observando a tensão no capacitor), a equação é
ou, na forma padrão,
A constante de tempo é
Logo
está incorreto. A correta é
.
Passo 9
Resumo das conclusões (sem rodeios): com base nas explicações acima, as respostas corretas para as cinco afirmações são:
- 1: Errada (porque
não é verdade para todo sistema subamortecido; depende de ). - 2: Correta (sobreamortecido
raízes reais e distintas). - 3: Errada (frequência de oscilação amortecida
quando ). - 4: Errada (constante de tempo RL:
, não ). - 5: Errada (constante de tempo RC:
, não ).
Resposta
E
C
E
E
E
C
E
E
E