Calcule a constante dielétrica de um material no qual a densidade de fluxo elétrico seja quatro vezes a polarização.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a constante dielétrica de um material.
Informação dada: a densidade de fluxo elétrico \,D\, é quatro vezes a polarização \,P\,; ou seja,
D = 4P.

Passo 2

Vamos anotar as relações constitutivas básicas para um dielétrico linear (explicando o que cada símbolo significa):
  • \,E\, é o campo elétrico (vetor campo aplicado).
  • \,P\, é a polarização (momento dipolar por unidade de volume).
  • \,D\, é a densidade de fluxo elétrico (também chamada deslocamento elétrico).
  • \,\varepsilon_0\, é a permissividade do vácuo (constante universal).
  • \,\chi_e\, é a susceptibilidade elétrica (medida de quanto o material polariza em resposta a E).
  • \,\varepsilon_r\, é a constante dielétrica relativa (também chamada permissividade relativa), relacionada por \varepsilon_r = 1 + \chi_e.
As equações que ligam essas grandezas em um dielétrico linear são:
P = \varepsilon_0 \chi_e E
e
D = \varepsilon_0 E + P.
Vou explicar: a primeira diz que a polarização é proporcional ao campo aplicado, com constante de proporcionalidade \varepsilon_0\chi_e. A segunda é a definição de D: o termo \varepsilon_0 E vem do vácuo e P é a contribuição do material.

Passo 3

A partir de D = \varepsilon_0 E + P e de P = \varepsilon_0 \chi_e E podemos escrever D em função de E isolando os termos:
D = \varepsilon_0 E + \varepsilon_0 \chi_e E = \varepsilon_0(1+\chi_e)E.
Como \varepsilon_r = 1+\chi_e, outra forma comum é
D = \varepsilon_0 \varepsilon_r E.

Passo 4

Agora use a informação do enunciado D = 4P. Substituo P e D pelas formas em função de E:
\varepsilon_0(1+\chi_e)E = 4\bigl(\varepsilon_0 \chi_e E\bigr).
Expliquei: à esquerda está D em função de E; à direita está 4P com P em função de E.

Passo 5

Podemos simplificar a equação anterior dividindo por \varepsilon_0 E (assumindo E\neq0; se E=0 as relações triviais também se mantêm mas não determinam susceptibilidade):
1+\chi_e = 4\chi_e.
Agora resolvemos para \chi_e:
1 = 4\chi_e - \chi_e = 3\chi_e \quad\Rightarrow\quad \chi_e = \frac{1}{3}.
Expliquei: isolamos a incógnita por operações algébricas simples (subtração e divisão).

Passo 6

A constante dielétrica relativa é \varepsilon_r = 1+\chi_e. Substituindo \chi_e = \tfrac{1}{3}:
\varepsilon_r = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.
Interpretação rápida: o material aumenta a permissividade do vácuo por um fator 4/3.

Passo 7

Se quiser a permissividade absoluta \varepsilon (às vezes pedida junto), ela é
\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r = \varepsilon_0 \cdot \frac{4}{3}.

Passo 8

Verificação intuitiva rápida: com \chi_e=\tfrac{1}{3} temos P=\varepsilon_0\frac{1}{3}E e D=\varepsilon_0(1+\tfrac{1}{3})E=\varepsilon_0\frac{4}{3}E. Então
\frac{D}{P}=\frac{\varepsilon_0\frac{4}{3}E}{\varepsilon_0\frac{1}{3}E}=4,
o que confirma a condição do enunciado.

Resposta

\displaystyle \varepsilon_r=\frac{4}{3}
\displaystyle \varepsilon=\frac{4}{3}\varepsilon_0

Exercícios relacionados