5.26 Uma amostra de semicondutor tem uma seção reta retangular de 1,5 por 2,0 \mathrm{~mm}, e um comprimento de 11,0 \mathrm{~mm}. O material tem densidades de elétrons e buracos de 1,8 \times 10^{18} \mathrm{e} 3,0 \times 10^{15} \mathrm{~m}^{-3}, respectivamente. Se \mu_{e}=0,082 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{V} \cdot se \mu_{h}=0,0021 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{V} \cdot \mathrm{s}, calcule a resistência oferecida entre as faces extremas da amostra.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a resistência entre as faces extremas (extremidades ao longo do comprimento) de uma amostra de semicondutor. Dados fornecidos (vou listar tudo para ficar claro):
  • Seção reta retangular: 1,5\\ \mathrm{mm} por 2,0\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento entre as faces extremas: 11,0\\ \mathrm{mm}.
  • Densidade de elétrons: n=1,8\times10^{18}\\ \mathrm{m}^{-3}.
  • Densidade de buracos: p=3,0\times10^{15}\\ \mathrm{m}^{-3}.
  • Mobilidade dos elétrons: \mu_{e}=0,082\\ \mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\cdot\mathrm{s}).
  • Mobilidade dos buracos: \mu_{h}=0,0021\\ \mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\cdot\mathrm{s}).
Objetivo final: encontrar a resistência R entre as faces extremas da amostra.

Passo 2

Converter todas as dimensões para o SI (metro), porque as fórmulas de resistência e condutividade usam unidades do SI.
  • 1,5\\ \mathrm{mm} = 1,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • 2,0\\ \mathrm{mm} = 2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • 11,0\\ \mathrm{mm} = 11,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 0,011\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a área da seção reta A. A seção é retangular, então multiplicamos largura por altura:
A = (1,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m})\times(2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}) = 3,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Explicar a relação entre mobilidade, densidade de portadores, condutividade e resistência.
  • A condutividade elétrica \sigma de um semicondutor com elétrons e buracos é dada por:
\sigma = e\bigl(n\mu_{e} + p\mu_{h}\bigr),
onde:
  • e é a carga elementar ( e\approx 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C});
  • n é a densidade de elétrons ( \mathrm{m}^{-3});
  • p é a densidade de buracos ( \mathrm{m}^{-3});
  • \mu_{e} e \mu_{h} são as mobilidades dos elétrons e buracos, respectivamente ( \mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\cdot\mathrm{s})).
Raciocínio físico simples: cada tipo de portador contribui para a corrente; a mobilidade mede o quão rápido, em média, cada portador se desloca sob um campo elétrico; multiplicando densidade × mobilidade × carga obtemos a condutividade.
A resistividade \rho é o inverso da condutividade:
\rho = \frac{1}{\sigma}.
A resistência entre as faces extremas (com corrente fluindo ao longo do comprimento L) é:
R = \rho\,\frac{L}{A}.
Aqui L é o comprimento entre as faces extremas (a direção do fluxo de corrente) e A é a área da seção transversal.

Passo 5

Calcular numericamente a condutividade \sigma. Primeiro calculo as contribuições n\mu_{e} e p\mu_{h}:
n\mu_{e} = (1,8\times10^{18})\times(0,082) = 1,476\times10^{17}.
p\mu_{h} = (3,0\times10^{15})\times(0,0021) = 6,3\times10^{12}.
Somando:
n\mu_{e}+p\mu_{h} = 1,476\times10^{17} + 6,3\times10^{12} \approx 1,47606\times10^{17}.
Agora multiplico pela carga elementar e\approx 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}:
\sigma = 1,602\times10^{-19}\times 1,47606\times10^{17} \approx 2,365\times10^{-2}\\ \mathrm{S/m}.
Observação didática rápida: note que n\mu_{e} domina, pois 1,476\times10^{17} é muito maior que 6,3\times10^{12}; ou seja, os elétrons são os principais condutores aqui.

Passo 6

Calcular a resistividade \rho:
\rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{1}{2,365\times10^{-2}}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} \approx 42,3\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Explicando a conta: inverter \approx 0,02365 dá aproximadamente 42,3.

Passo 7

Calcular a resistência R usando R=\rho\,\dfrac{L}{A}. Já temos \rho, L=0,011\\ \mathrm{m} e A=3,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}:
R = 42,3\\ \Omega\cdot\mathrm{m}\times\frac{0,011\\ \mathrm{m}}{3,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}}.
Fazendo as contas:
42,3\times 0,011 = 0,4653,
R = \frac{0,4653}{3,0\times10^{-6}} \approx 1,551\times10^{5}\\ \Omega.
Arredondando para dois ou três algarismos significativos, podemos escrever R\approx 1,55\times10^{5}\\ \Omega, ou cerca de 155\\ \mathrm{k}\Omega.

Resposta

1,55\times10^{5}\\ \Omega

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