1a Questão (3 pontos) As coordenadas polares de um ponto material movendo-se no plano xy são dadas por (em metros) e
(em radianos). Encontre a velocidade e aceleração nos sistemas polar e cartesiano para .

Passo 1

Beleza, a questão diz que um ponto se move no plano usando coordenadas polares, com
r(t)=t^2-4t e theta(t)=t^2-t
O conteúdo é cinemática em coordenadas polares: pra resolver vamos precisar de derivadas de e , das fórmulas de velocidade e aceleração em polares e da conversão pra componentes cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas gerais:



Passo 3

Agora, avalia tudo em r(0.8)=0.8^2-4cdot0.8=0.64-3.2=-2.56;m, ,s:
theta(0.8)=0.8^2-0.8=0.64-0.8=-0.16;rad,
dot r(0.8)=2cdot0.8-4=1.6-4=-2.4;tfracms,
ddot r(0.8)=2;tfracms^2,
dottheta(0.8)=2cdot0.8-1=1.6-1=0.6;tfracrads,
ddottheta(0.8)=2;tfracrads^2

Passo 4

Velocidade em polares:
vr=dot r, vtheta=r,dottheta
Logo, em vr=-2.4;tfracms, vtheta=(-2.56)times0.6=-1.536;tfracms :

Passo 5

Aceleração em polares:
ar=ddot r - r,dottheta^2, atheta=r,ddottheta +2,dot r,dottheta
Em ar=2 -(-2.56)(0.6)^2=2 -(-2.56cdot0.36)=2+0.9216=2.9216;tfracms^2, :
atheta=(-2.56)cdot2 +2cdot(-2.4)cdot0.6 =-5.12 -2.88=-8.00;tfracms^2

Passo 6

Agora velocidade em cartesiano. Sabendo que
vx=vrcostheta - vthetasintheta, vy=vrsintheta + vthetacostheta e vx=(-2.4)(0.9872)-(-1.536)(-0.1593)approx-2.61;tfracms, ,
temos
vy=(-2.4)(-0.1593)+(-1.536)(0.9872)approx-1.13;tfracms
Com , , :

Passo 7

Aceleração em cartesiano com
ax=arcostheta - athetasintheta, ay=arsintheta + athetacostheta
Substituindo:
ax=2.9216(0.9872)-(-8.00)(-0.1593)approx1.61;tfracms^2,
ay=2.9216(-0.1593)+(-8.00)(0.9872)approx-8.36;tfracms^2

Resposta

Velocidade polar em :

Aceleração polar:

Velocidade cartesiana:

Aceleração cartesiana:

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