Usando o método da área de momento (Analogia de Mohr), encontre a flecha no meio do vão da viga abaixo em função de P, L, E e I. Considere o módulo de elasticidade E constante e o momento de inércia da seção 1 igual a 4 vezes o da seção 2(I1=4 I2)

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: a gente tem uma viga simplesmente apoiada de comprimento I1 = 4,I2 , com uma carga concentrada bem no meio do vão. Mas o lance é que a seção da viga não é uniforme: a metade esquerda tem momento de inércia e a metade direita tem , sendo dado que
O objetivo é achar a flecha (deflexão vertical) no ponto médio em função de , , e do momento de inércia da parte menos rígida (vou chamar de ).
Para isso a gente vai usar o método das áreas de momento (teoremas de Mohr), que envolve:
  • desenhar o diagrama de momento fletor ,
  • dividir em trechos onde é constante,
  • construir o diagrama de ,
  • aplicar o “Segundo Teorema das Áreas” (que dá a deflexão em função da área e do baricentro desse diagrama).

Passo 2

  1. Diagrama de momento fletor M(x)=P2,x .
    Para uma carga M(x)=P2,l(L - xr) no meio de uma viga simplesmente apoiada em I(x)= I1=4I, & 0<= x<= L/2, I2=I, & L/2<= x<= L e ,
  • em :
  • em :
  1. Como as metades têm inércia diferente, chamamos

Passo 3

Agora formamos o diagrama de M(x)E,I(x) = tfracP2,xE,(4I) = P8EI;x, , que vale:
  • para M(x)E,I(x) = tfracP2,(L-x)E,I = P2EI;l(L - xr) : de
  • para :
Esse gráfico de é um triângulo no trecho esquerdo e outro no direito. Para usar o Segundo Teorema das Áreas e achar a deflexão no ponto médio ( ), a fórmula é
áçé
Como a viga é simétrica em carga mas não em rigidez, vamos calcular as áreas separadas e depois o baricentro.

Passo 4

  1. Área do lado esquerdo ( A1 = tfrac12;L2;times;P8EI,L2 = P,L^264,E,I ): triângulo de base e1 = l(tfracL2 - tfracxrm cg1r) = L2 - 13,L2 = L3 e altura A2 = tfrac12;L2;times;P2EI,L2 = P,L^216,E,I :
    de
    A distância do baricentro desse triângulo a de (no sentido de ) é
  2. Área do lado direito ( ): triângulo de base e altura :
    A distância do baricentro desse triângulo a é, simetricamente, também .
  3. Então a deflexão em é
    Fatorando :
Mas atenção: quando fizemos nos cálculos consideramos o valor da metade direita ( ), que é a menor inércia.

Resposta

boxed de

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