1 Questão ( 3 pontos) As coordenadas polares de um ponto P movendo-se num plano xy são dadas por r=t^3-4 t(m) e theta=t^2-t (rad). Determine (a) a velocidade e aceleração para t=1 s em coordenadas polares e (b) a velocidade para t=1 s em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que um ponto P se move no plano com coordenadas polares
r(t)=t^3 - 4t(m), theta(t)=t^2 - t(rad)
Precisamos achar em dot r,;ddot r,;dottheta,;ddottheta  s:
a) a velocidade v = dot r,hat er + r,dottheta,hat etheta, a = (ddot r - rdottheta^2),hat er + (rddottheta + 2,dot r,dottheta),hat etheta e a aceleração em coordenadas polares;
b) a velocidade em coordenadas cartesianas.
O conteúdo aqui é “cinemática vetorial em coordenadas polares”. Vamos usar as fórmulas:
e depois

Passo 2

Primeiro, achamos as derivadas gerais:
r(t)=t^3-4t ;Rightarrow; dot r=3t^2-4, ;; ddot r=6t,
theta(t)=t^2-t ;Rightarrow; dottheta=2t-1, ;; ddottheta=2
Agora avaliamos tudo em r(1)=1^3-4cdot1=-3 m, dot r(1)=3cdot1^2-4=-1 m/s, ddot r(1)=6cdot1=6 m/s^2, :
dottheta(1)=2cdot1-1=1 rad/s, ddottheta(1)=2 rad/s^2

Passo 3

Agora a velocidade em polares
v = dot r,hat er + r,dottheta,hat etheta = (-1),hat er + l(-3r)cdot1,hat etheta = -1,hat er -3,hat etheta [m/s]
Explicando: é a componente radial, e é a componente “circunferencial” (direção ).

Passo 4

Agora a aceleração em polares
ar = ddot r - r,dottheta^2 = 6 - (-3)cdot1^2 = 6+3=9,
atheta = r,ddottheta + 2,dot r,dottheta = (-3)cdot2 + 2cdot(-1)cdot1 = -6 -2 = -8
Logo
a = 9,hat er ;-;8,hat etheta [m/s^2]

Passo 5

Pra achar a velocidade em cartesianas, usamos
v = vr,hat er + vtheta,hat etheta,
com os vetores-base em hat er=(cos0, sin0)=(1,0), hat etheta=(-sin0, cos0)=(0,1) , onde v = -1,(1,0) + (-3),(0,1) = (-1,,-3) m/s :
Então

Resposta

a) Em coordenadas polares, em v = -1,hat er -3,hat etheta[m/s], a = 9,hat er -8,hat etheta[m/s^2]  s:
v = -1, i ;-;3, j[m/s]
b) Em coordenadas cartesianas, em  s:

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