- (1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o limite
existe e, se existir, calcular o seu valor.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
. - É preciso verificar existência do limite (isto envolve comparar os limites laterais à direita e à esquerda).
Passo 2
Observação sobre o valor absoluto: para
vale
e para
vale
. Assim é natural calcular os limites laterais:
Portanto, o que precisamos conhecer bem é o limite clássico
Passo 3
Vou provar de forma simples e clássica que
Prova (usando desigualdades geométricas e o Teorema do Confronto/Sandwich):
Considere
em
. No círculo trigonométrico de raio
existe a conhecida desigualdade geométrica
Dividindo todos os termos por
(positivo nesse intervalo) obtemos
Tomando recíprocos (mantendo a desigualdade na ordem correta, pois todos os termos são positivos) dá
Agora aplicamos o Teorema do Confronto: sabemos que
. Como
fica “espremido” entre
e
, segue que
Para
a função
é par (na verdade
é ímpar e
é ímpar, então o quociente é par), logo o limite pelo negativo é o mesmo:
Portanto
Passo 4
Voltemos ao nosso limite com valor absoluto. Usando o resultado acima:
- Limite pela direita:
- Limite pela esquerda:
Como os limites laterais são diferentes (um é
e o outro é
), o limite bilateral em
não existe.
Resposta
Não existe (limite à direita
, limite à esquerda
).