1. (1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
    \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{|x|}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{|x|}
existe e, se existir, calcular o seu valor.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{|x|}.
  • O ponto de interesse é x=0.
  • É preciso verificar existência do limite (isto envolve comparar os limites laterais à direita e à esquerda).

Passo 2

Observação sobre o valor absoluto: para x>0 vale |x|=x e para x<0 vale |x|=-x. Assim é natural calcular os limites laterais:
\lim_{x\to 0^+}\frac{\operatorname{sen}(x)}{|x|}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}, \qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{\operatorname{sen}(x)}{|x|}=\lim_{x\to 0^-}\frac{\operatorname{sen}(x)}{-x}=-\lim_{x\to 0^-}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}.
Portanto, o que precisamos conhecer bem é o limite clássico
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}.

Passo 3

Vou provar de forma simples e clássica que
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Prova (usando desigualdades geométricas e o Teorema do Confronto/Sandwich):
Considere x em (0,\tfrac{\pi}{2}). No círculo trigonométrico de raio 1 existe a conhecida desigualdade geométrica
\operatorname{sen}(x) < x < \operatorname{tg}(x).
Dividindo todos os termos por \operatorname{sen}(x) (positivo nesse intervalo) obtemos
1 < \frac{x}{\operatorname{sen}(x)} < \frac{1}{\cos(x)}.
Tomando recíprocos (mantendo a desigualdade na ordem correta, pois todos os termos são positivos) dá
\cos(x) < \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} < 1.
Agora aplicamos o Teorema do Confronto: sabemos que \lim_{x\to 0}\cos(x)=1. Como \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} fica “espremido” entre \cos(x) e 1, segue que
\lim_{x\to 0^+}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Para x<0 a função \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x} é par (na verdade \operatorname{sen}(x) é ímpar e x é ímpar, então o quociente é par), logo o limite pelo negativo é o mesmo:
\lim_{x\to 0^-}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.

Passo 4

Voltemos ao nosso limite com valor absoluto. Usando o resultado acima:
  • Limite pela direita:
\lim_{x\to 0^+}\frac{\operatorname{sen}(x)}{|x|}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
  • Limite pela esquerda:
\lim_{x\to 0^-}\frac{\operatorname{sen}(x)}{|x|}=-\lim_{x\to 0^-}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=-1.
Como os limites laterais são diferentes (um é 1 e o outro é -1), o limite bilateral em 0 não existe.

Resposta

Não existe (limite à direita =1, limite à esquerda =-1).

Exercícios relacionados