1. (2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0^{+}} x^{x^{2}}.
Informações claras extraídas do enunciado:
  • A variável x tende para 0 pela direita ( x\to0^{+}).
  • A expressão é x^{x^{2}}.
    Observação importante: quando x\to0^{+} temos x\to0 e x^{2}\to0, portanto a forma da potência é do tipo 0^{0}, que é uma indeterminação de limite — isto pede cuidado e normalmente usamos logaritmo para tratar.

Passo 2

Transformação útil: para tratar limites com indeterminação exponencial do tipo 0^{0} é comum tomar o logaritmo natural. Defina
y = x^{x^{2}}.
Tomando logaritmo natural dos dois lados obtemos
\ln y = x^{2}\ln x.
Explicando: a identidade \ln(a^{b})=b\ln a vale para a>0, e aqui estamos com x>0 (já que x\to0^{+}), então é legítimo. Nosso plano será calcular \lim_{x\to0^{+}}\ln y e depois recuperar y por exponenciação, usando a continuidade da função exponencial.

Passo 3

Reescrever o termo cujo limite queremos avaliar para aplicar uma regra conhecida:
x^{2}\ln x = \frac{\ln x}{1/x^{2}}.
Comentários didáticos:
  • Quando x\to0^{+} temos \ln x \to -\infty e 1/x^{2}\to +\infty. Assim a expressão \dfrac{\ln x}{1/x^{2}} é do tipo -\infty/\infty, situação em que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (ambas as funções são diferenciáveis em (0,\varepsilon) para algum pequeno \varepsilon>0 e os limites de numerador e denominador são infinitos).
  • A Regra de L’Hôpital diz que se \lim \dfrac{f}{g} é de tipo \tfrac{\infty}{\infty} ou \tfrac{-\infty}{\infty}, então \lim \dfrac{f}{g}=\lim \dfrac{f'}{g'} quando o limite da razão das derivadas existir (ou for \pm\infty).

Passo 4

Aplicando L’Hôpital: calcule as derivadas do numerador e do denominador.
  • Derivada do numerador \ln x é \dfrac{1}{x}.
  • Derivada do denominador 1/x^{2} é -\dfrac{2}{x^{3}}.
    Logo, pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to0^{+}} x^{2}\ln x = \lim_{x\to0^{+}} \frac{\ln x}{1/x^{2}} = \lim_{x\to0^{+}} \frac{1/x}{-2/x^{3}}.
Simplificando a última expressão:
\frac{1/x}{-2/x^{3}} = -\frac{x^{2}}{2}.

Passo 5

Agora basta tomar o limite simples:
\lim_{x\to0^{+}} \left(-\frac{x^{2}}{2}\right) = 0,
pois x^{2}\to0 quando x\to0^{+}. Portanto chegamos a
\lim_{x\to0^{+}} \ln y = 0.

Passo 6

Voltando para y: temos \ln y \to 0. A função exponencial é contínua, então podemos exponenciar o limite:
\lim_{x\to0^{+}} y = \lim_{x\to0^{+}} e^{\ln y} = e^{\lim_{x\to0^{+}}\ln y} = e^{0} = 1.
Interpretação rápida: embora a base vá para 0, o expoente vai para 0 rápido o suficiente para que a potência tenda a 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados