- (2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações claras extraídas do enunciado:
- A variável
tende para pela direita ( ). - A expressão é
.
Observação importante: quandotemos e , portanto a forma da potência é do tipo , que é uma indeterminação de limite — isto pede cuidado e normalmente usamos logaritmo para tratar.
Passo 2
Transformação útil: para tratar limites com indeterminação exponencial do tipo
é comum tomar o logaritmo natural. Defina
Tomando logaritmo natural dos dois lados obtemos
Explicando: a identidade
vale para
, e aqui estamos com
(já que
), então é legítimo. Nosso plano será calcular
e depois recuperar
por exponenciação, usando a continuidade da função exponencial.
Passo 3
Reescrever o termo cujo limite queremos avaliar para aplicar uma regra conhecida:
Comentários didáticos:
- Quando
temos e . Assim a expressão é do tipo , situação em que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (ambas as funções são diferenciáveis em para algum pequeno e os limites de numerador e denominador são infinitos). - A Regra de L’Hôpital diz que se
é de tipo ou , então quando o limite da razão das derivadas existir (ou for ).
Passo 4
Aplicando L’Hôpital: calcule as derivadas do numerador e do denominador.
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
Logo, pela Regra de L’Hôpital,
Simplificando a última expressão:
Passo 5
Agora basta tomar o limite simples:
pois
quando
. Portanto chegamos a
Passo 6
Voltando para
: temos
. A função exponencial é contínua, então podemos exponenciar o limite:
Interpretação rápida: embora a base vá para
, o expoente vai para
rápido o suficiente para que a potência tenda a
.