- (2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A variável tende para
. - No numerador aparece a função
. - No denominador aparece
(função arco-tangente, equivalente a arctan). - O objetivo é determinar o valor desse quociente quando
cresce sem limite.
Passo 2
Calcular
.
Explicação didática: a função exponencial
é contínua para todo
. Isso significa que, se uma sequência (ou variável)
tende a um limite
, então
tende a
. Aqui podemos tomar
. Quando
temos
. Logo, pela continuidade de
,
Portanto o numerador tende para
.
Passo 3
Calcular
.
Explicação didática: a função
é monótona crescente e está limitada entre
e
. Para
os valores estão em
e, conforme
aumenta,
se aproxima do seu maior elemento possível neste intervalo superior, que é
. Formalmente, para qualquer
existe
tal que, para
,
; isso mostra que o limite é
.
Portanto
Passo 4
Aplicar regra de limites para quociente.
Explicação didática: existe uma regra simples de limites que diz: se
e
com
, então
Aqui já vimos que
e
, e
. Logo podemos tomar o quociente dos limites: