1. (2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{1 / x}}{\operatorname{arctg}(x)}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{1/x}}{\operatorname{arctg}(x)}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A variável tende para +\infty.
  • No numerador aparece a função e^{1/x}.
  • No denominador aparece \operatorname{arctg}(x) (função arco-tangente, equivalente a arctan).
  • O objetivo é determinar o valor desse quociente quando x cresce sem limite.

Passo 2

Calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^{1/x}.
Explicação didática: a função exponencial e^{u} é contínua para todo u. Isso significa que, se uma sequência (ou variável) u tende a um limite L, então e^{u} tende a e^{L}. Aqui podemos tomar u=1/x. Quando x\to+\infty temos 1/x\to 0^{+}. Logo, pela continuidade de e^{u},
\lim_{x\to+\infty} e^{1/x} = e^{\lim_{x\to+\infty} 1/x} = e^{0} = 1.
Portanto o numerador tende para 1.

Passo 3

Calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \operatorname{arctg}(x).
Explicação didática: a função \operatorname{arctg}(x) é monótona crescente e está limitada entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}. Para x>0 os valores estão em (0,\tfrac{\pi}{2}) e, conforme x aumenta, \operatorname{arctg}(x) se aproxima do seu maior elemento possível neste intervalo superior, que é \tfrac{\pi}{2}. Formalmente, para qualquer \varepsilon>0 existe X tal que, para x>X, \operatorname{arctg}(x)>\tfrac{\pi}{2}-\varepsilon; isso mostra que o limite é \tfrac{\pi}{2}.
Portanto
\lim_{x\to+\infty} \operatorname{arctg}(x) = \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Aplicar regra de limites para quociente.
Explicação didática: existe uma regra simples de limites que diz: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
Aqui já vimos que \lim_{x\to+\infty} e^{1/x}=1 e \lim_{x\to+\infty} \operatorname{arctg}(x)=\tfrac{\pi}{2}, e \tfrac{\pi}{2}\neq 0. Logo podemos tomar o quociente dos limites:
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{1/x}}{\operatorname{arctg}(x)}=\frac{1}{\tfrac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\pi}

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