- (1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado pede o limite quando
da função
- Observação ao tentar substituir
: o numerador fica e o denominador fica . Portanto, a expressão ao substituir dá uma forma indeterminada .
Passo 2
Explicação do que significa e qual estratégia usar (sem entrar em regras de cálculo complexas).
- A forma
é indeterminada: não conseguimos saber o limite apenas substituindo. Precisa-se manipular a expressão algebricamente para eliminar a indeterminação. - Um truque clássico para casos com raízes é multiplicar por um conjugado. A ideia usa a identidade de diferença de quadrados:
que permite eliminar raízes no numerador quando multiplicamos por
.
Passo 3
Aplicar o truque do conjugado ao numerador.
Multiplica-se numerador e denominador por
. Assim:
Pelo produto notável
com
e
, o numerador fica
Então a expressão vira
Passo 4
Fatorar e simplificar a expressão obtida.
- Fatorando o numerador:
- Usar agora a identidade de diferença de quadrados para
: escrevemos
Substituindo isso na expressão anterior obtemos
Passo 5
Cancelar o fator comum e preparar a substituição no limite.
- Como estamos estudando o limite e consideramos
próximos de mas distintos de , podemos cancelar o fator (isso não altera o valor do limite):
- Agora a função simplificada é contínua em torno de
, então podemos tomar o limite substituindo . Ao substituir obtemos
Passo 6
Comentário final sobre existência do limite.
- Obtivemos um valor numérico finito após a simplificação, logo o limite existe e é o número que simplifica
. - Pode-se simplificar a fração
dividindo numerador e denominador por , obtendo a forma mais reduzida.