1. (1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
    \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{4 x+9}-5}{\sqrt{x}-2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede o limite quando x \to 4 da função
\frac{\sqrt{4x+9}-5}{\sqrt{x}-2}.
  • Observação ao tentar substituir x=4: o numerador fica \sqrt{4\cdot4+9}-5=\sqrt{25}-5=5-5=0 e o denominador fica \sqrt{4}-2=2-2=0. Portanto, a expressão ao substituir dá uma forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Explicação do que significa e qual estratégia usar (sem entrar em regras de cálculo complexas).
  • A forma 0/0 é indeterminada: não conseguimos saber o limite apenas substituindo. Precisa-se manipular a expressão algebricamente para eliminar a indeterminação.
  • Um truque clássico para casos com raízes é multiplicar por um conjugado. A ideia usa a identidade de diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
que permite eliminar raízes no numerador quando multiplicamos por (a+b).

Passo 3

Aplicar o truque do conjugado ao numerador.
Multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{4x+9}+5. Assim:
\frac{\sqrt{4x+9}-5}{\sqrt{x}-2} =\frac{(\sqrt{4x+9}-5)(\sqrt{4x+9}+5)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{4x+9}+5)}.
Pelo produto notável (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} com a=\sqrt{4x+9} e b=5, o numerador fica
(\sqrt{4x+9})^{2}-5^{2}=4x+9-25=4x-16.
Então a expressão vira
\frac{4x-16}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{4x+9}+5)}.

Passo 4

Fatorar e simplificar a expressão obtida.
  • Fatorando o numerador:
4x-16=4(x-4).
  • Usar agora a identidade de diferença de quadrados para x-4: escrevemos
x-4=(\sqrt{x})^{2}-2^{2}=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2).
Substituindo isso na expressão anterior obtemos
\frac{4(x-4)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{4x+9}+5)} =\frac{4(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{4x+9}+5)}.

Passo 5

Cancelar o fator comum e preparar a substituição no limite.
  • Como estamos estudando o limite e consideramos x próximos de 4 mas distintos de 4, podemos cancelar o fator \sqrt{x}-2 (isso não altera o valor do limite):
\frac{4(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{4x+9}+5)} =\frac{4(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{4x+9}+5}\quad\text{para }x\neq4.
  • Agora a função simplificada é contínua em torno de x=4, então podemos tomar o limite substituindo x\to4. Ao substituir x=4 obtemos
\frac{4(\sqrt{4}+2)}{\sqrt{4\cdot4+9}+5} =\frac{4(2+2)}{\sqrt{25}+5} =\frac{4\cdot4}{5+5} =\frac{16}{10}.

Passo 6

Comentário final sobre existência do limite.
  • Obtivemos um valor numérico finito após a simplificação, logo o limite existe e é o número que simplifica \dfrac{16}{10}.
  • Pode-se simplificar a fração \dfrac{16}{10} dividindo numerador e denominador por 2, obtendo a forma mais reduzida.

Resposta

\dfrac{8}{5}

Exercícios relacionados