Encontre os valores de máximo/mínimo absoluto (global) das funções a seguir, nos intervalos fechados especificados:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores de máximo e mínimo absoluto (globais) da função
no intervalo fechado
.
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio do problema é o intervalo fechado
. - Deve-se encontrar os pontos e valores do mínimo absoluto e do máximo absoluto dentro desse intervalo.
Passo 2
Observações iniciais (verificando domínio e comportamento):
- A função
está bem definida para todo . No intervalo considerado temos , então não há problema de domínio. - Para encontrar extremos absolutos em um intervalo fechado, é necessário verificar:
- os pontos críticos internos (onde a derivada é zero ou não existe) dentro do intervalo;
- os pontos das extremidades do intervalo (
e ).
- A comparação dos valores da função nesses pontos dará os extremos absolutos.
Passo 3
Calcular a derivada da função (explicando o que é e como usar):
- A derivada
indica a taxa de variação de em relação a . Pontos onde são candidatos a extremos locais. - Derivando termo a termo:
então
- Escrevendo de forma equivalente:
Passo 4
Encontrar pontos críticos internos resolvendo
:
Assim
. Como o nosso intervalo é
(apenas positivos), o único ponto crítico interno é
que pertence ao intervalo.
Passo 5
Avaliar a função nos candidatos (pontos críticos internos e extremos do intervalo).
- Avaliar em
:
- Avaliar em
:
- Avaliar em
:
Passo 6
Determinar quais são máximo e mínimo absolutos comparando os valores encontrados e, quando útil, confirmar com uma observação teórica:
- Valores obtidos:
-
, -
, -
.
-
- Comparando:
. Logo o menor valor dentre esses é e o maior é . - Uma verificação teórica interessante (sem cálculo) para reforçar o mínimo: pela desigualdade AM-GM, para
vale
com igualdade exatamente quando
. Isso confirma que
é o mínimo absoluto sobre qualquer intervalo de
que contenha
.
Resposta
Máximo absoluto:
no ponto
Mínimo absoluto: no ponto
Mínimo absoluto: