Encontre os valores de máximo/mínimo absoluto (global) das funções a seguir, nos intervalos fechados especificados:
\mathrm{g}(\mathrm{t})=\mathrm{t}+\frac{1}{\mathrm{t}}, \quad \mathrm{t} \in\left[\frac{1}{5}, 4\right].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de máximo e mínimo absoluto (globais) da função
\mathrm{g}(\mathrm{t})=\mathrm{t}+\frac{1}{\mathrm{t}}
no intervalo fechado \left[\tfrac{1}{5},4\right].
Informações dadas:
  • A função é \mathrm{g}(\mathrm{t})=\mathrm{t}+\dfrac{1}{\mathrm{t}}.
  • O domínio do problema é o intervalo fechado \left[\dfrac{1}{5},4\right].
  • Deve-se encontrar os pontos e valores do mínimo absoluto e do máximo absoluto dentro desse intervalo.

Passo 2

Observações iniciais (verificando domínio e comportamento):
  • A função \mathrm{g}(\mathrm{t}) está bem definida para todo \mathrm{t}\neq 0. No intervalo considerado \left[\tfrac{1}{5},4\right] temos \mathrm{t}>0, então não há problema de domínio.
  • Para encontrar extremos absolutos em um intervalo fechado, é necessário verificar:
    1. os pontos críticos internos (onde a derivada é zero ou não existe) dentro do intervalo;
    2. os pontos das extremidades do intervalo ( \mathrm{t}=\tfrac{1}{5} e \mathrm{t}=4).
  • A comparação dos valores da função nesses pontos dará os extremos absolutos.

Passo 3

Calcular a derivada da função (explicando o que é e como usar):
  • A derivada \mathrm{g}'(\mathrm{t}) indica a taxa de variação de \mathrm{g} em relação a \mathrm{t}. Pontos onde \mathrm{g}'(\mathrm{t})=0 são candidatos a extremos locais.
  • Derivando termo a termo:
\mathrm{g}(\mathrm{t})=\mathrm{t}+\frac{1}{\mathrm{t}} = \mathrm{t} + \mathrm{t}^{-1},
então
\mathrm{g}'(\mathrm{t}) = \frac{d}{d\mathrm{t}}\bigl(\mathrm{t}\bigr) + \frac{d}{d\mathrm{t}}\bigl(\mathrm{t}^{-1}\bigr) = 1 - \mathrm{t}^{-2}.
  • Escrevendo de forma equivalente:
\mathrm{g}'(\mathrm{t}) = 1 - \frac{1}{\mathrm{t}^{2}}.

Passo 4

Encontrar pontos críticos internos resolvendo \mathrm{g}'(\mathrm{t})=0:
1 - \frac{1}{\mathrm{t}^{2}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\mathrm{t}^{2}} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{t}^{2}=1.
Assim \mathrm{t}=\pm 1. Como o nosso intervalo é \left[\tfrac{1}{5},4\right] (apenas positivos), o único ponto crítico interno é
\mathrm{t}=1,
que pertence ao intervalo.

Passo 5

Avaliar a função nos candidatos (pontos críticos internos e extremos do intervalo).
  • Avaliar em \mathrm{t}=\dfrac{1}{5}:
\mathrm{g}\!\left(\tfrac{1}{5}\right)=\tfrac{1}{5}+\frac{1}{\tfrac{1}{5}}=\tfrac{1}{5}+5=\tfrac{1+25}{5}=\tfrac{26}{5}.
  • Avaliar em \mathrm{t}=4:
\mathrm{g}(4)=4+\frac{1}{4}=\frac{16}{4}+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}.
  • Avaliar em \mathrm{t}=1:
\mathrm{g}(1)=1+\frac{1}{1}=2.

Passo 6

Determinar quais são máximo e mínimo absolutos comparando os valores encontrados e, quando útil, confirmar com uma observação teórica:
  • Valores obtidos:
    • \mathrm{g}\!\left(\tfrac{1}{5}\right)=\dfrac{26}{5}=5{,}2,
    • \mathrm{g}(4)=\dfrac{17}{4}=4{,}25,
    • \mathrm{g}(1)=2.
  • Comparando: 2 < 4{,}25 < 5{,}2. Logo o menor valor dentre esses é \mathrm{g}(1)=2 e o maior é \mathrm{g}\!\left(\tfrac{1}{5}\right)=\dfrac{26}{5}.
  • Uma verificação teórica interessante (sem cálculo) para reforçar o mínimo: pela desigualdade AM-GM, para \mathrm{t}>0 vale
\mathrm{t}+\frac{1}{\mathrm{t}} \ge 2,
com igualdade exatamente quando \mathrm{t}=1. Isso confirma que \mathrm{g}(1)=2 é o mínimo absoluto sobre qualquer intervalo de \mathrm{t}>0 que contenha \mathrm{t}=1.

Resposta

Máximo absoluto: \mathrm{g}\!\left(\tfrac{1}{5}\right)=\dfrac{26}{5} no ponto \mathrm{t}=\tfrac{1}{5}
Mínimo absoluto: \mathrm{g}(1)=2 no ponto \mathrm{t}=1

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