Encontre os valores de máximo/mínimo absoluto (global) das funções a seguir, nos intervalos fechados especificados:
A(\theta)=2 \cos (\theta)+\operatorname{sen}(2 \theta), \quad \theta \in[0, \pi / 2].

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores de máximo e mínimo absoluto (globais) da função
A(\theta)=2\cos(\theta)+\operatorname{sen}(2\theta)
no intervalo fechado \theta\in[0,\pi/2].
Informações dadas:
  • A função é A(\theta)=2\cos(\theta)+\operatorname{sen}(2\theta).
  • O domínio considerado é o intervalo fechado [0,\pi/2].
  • A tarefa é identificar onde ocorrem o máximo absoluto e o mínimo absoluto e calcular os respectivos valores de A(\theta).

Passo 2

Estratégia e ideia teórica que vou usar (explicada de forma didática):
  • Para uma função contínua num intervalo fechado, o Teorema do Valor Extremo diz que existem máximo e mínimo absolutos e que eles ocorrem ou em pontos críticos internos (onde a derivada é zero ou não existe) ou nas extremidades do intervalo.
  • Portanto, vou:
    1. Calcular a derivada A'(\theta).
    2. Encontrar as soluções de A'(\theta)=0 que estejam em [0,\pi/2].
    3. Avaliar A(\theta) nos pontos críticos encontrados e nos extremos \theta=0 e \theta=\pi/2.
    4. Comparar esses valores para identificar máximo e mínimo absolutos.
Antes de derivar, convém simplificar a função usando identidades trigonométricas para facilitar contas: \operatorname{sen}(2\theta)=2\operatorname{sen}(\theta)\cos(\theta). Assim
A(\theta)=2\cos(\theta)+2\operatorname{sen}(\theta)\cos(\theta)=2\cos(\theta)\bigl(1+\operatorname{sen}(\theta)\bigr).

Passo 3

Cálculo da derivada passo a passo (relembrando regras usadas):
  • Regra do produto: se u(\theta)v(\theta), então (uv)'=u'v+uv'.
  • Derivadas básicas: \dfrac{d}{d\theta}\operatorname{sen}(\theta)=\cos(\theta) e \dfrac{d}{d\theta}\cos(\theta)=-\operatorname{sen}(\theta).
Tomando A(\theta)=2\cos(\theta)\bigl(1+\operatorname{sen}(\theta)\bigr), seja u(\theta)=2\cos(\theta) e v(\theta)=1+\operatorname{sen}(\theta).
  • u'(\theta)=2\cdot(-\operatorname{sen}(\theta))=-2\operatorname{sen}(\theta).
  • v'(\theta)=\cos(\theta).
Aplicando a regra do produto:
A'(\theta)=u'v+uv'=-2\operatorname{sen}(\theta)\bigl(1+\operatorname{sen}(\theta)\bigr)+2\cos(\theta)\cos(\theta).
Agora simplifico:
A'(\theta)=-2\operatorname{sen}(\theta)-2\operatorname{sen}^2(\theta)+2\cos^2(\theta).
Usando a identidade \cos^2(\theta)-\operatorname{sen}^2(\theta)=\cos(2\theta), posso rearranjar para uma forma mais compacta. Observe:
-2\operatorname{sen}^2(\theta)+2\cos^2(\theta)=2\bigl(\cos^2(\theta)-\operatorname{sen}^2(\theta)\bigr)=2\cos(2\theta).
Portanto
A'(\theta)=2\cos(2\theta)-2\operatorname{sen}(\theta)=2\bigl(\cos(2\theta)-\operatorname{sen}(\theta)\bigr).

Passo 4

Encontrar pontos críticos: resolve-se A'(\theta)=0, ou seja
\cos(2\theta)-\operatorname{sen}(\theta)=0\quad\Longrightarrow\quad \cos(2\theta)=\operatorname{sen}(\theta).
Para resolver essa equação é conveniente passar para uma só função trigonométrica; use a identidade \cos(2\theta)=1-2\operatorname{sen}^2(\theta). Seja s=\operatorname{sen}(\theta). Então:
1-2s^2=s.
Rearranjando:
2s^2+s-1=0.
Isto é uma equação quadrática em s. Aplico a fórmula de Bhaskara:
s=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\frac{-1\pm3}{4}.
As soluções são
s=\frac{1}{2}\quad\text{ou}\quad s=-1.
Como \theta\in[0,\pi/2], temos \operatorname{sen}(\theta)\in[0,1], então a única solução admissível é \operatorname{sen}(\theta)=\tfrac{1}{2}. Isso corresponde a
\theta=\frac{\pi}{6}
no intervalo considerado. (A solução s=-1 corresponderia a \theta=-\pi/2 ou 3\pi/2, que não estão em [0,\pi/2].)
Logo o único ponto crítico interno é \theta=\pi/6.

Passo 5

Avaliar A(\theta) nos pontos candidatos (pontos críticos e extremos do intervalo):
  1. Em \theta=0:
A(0)=2\cos(0)+\operatorname{sen}(0)=2\cdot1+0=2.
  1. Em \theta=\pi/2:
A\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+\operatorname{sen}(\pi)=2\cdot0+0=0.
  1. Em \theta=\pi/6 (ponto crítico):
    Calculo passo a passo: \cos(\pi/6)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \operatorname{sen}(2\cdot\pi/6)=\operatorname{sen}(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim
A\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=2\cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)+\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Numérico aproximado: \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2{,}598, que é maior que 2 e 0.

Passo 6

Confirmar a natureza do ponto crítico (teste da segunda derivada, explicando a ideia):
  • A segunda derivada ajuda a identificar se um ponto crítico é máximo (segunda derivada negativa), mínimo (segunda derivada positiva) ou ponto de inflexão (segunda derivada zero, podendo exigir análise adicional).
    A partir de A'(\theta)=2\bigl(\cos(2\theta)-\operatorname{sen}(\theta)\bigr), derivo novamente:
A''(\theta)=2\bigl(-2\operatorname{sen}(2\theta)-\cos(\theta)\bigr)=-4\operatorname{sen}(2\theta)-2\cos(\theta).
Avalio em \theta=\pi/6: \operatorname{sen}(2\theta)=\operatorname{sen}(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos(\pi/6)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
A''\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=-4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}-\sqrt{3}=-3\sqrt{3}<0.
Como A''(\pi/6)<0, o ponto \theta=\pi/6 é um máximo local. Comparando os valores já calculados em Passo 5, esse máximo local é também o máximo absoluto no intervalo, porque seu valor é o maior entre os três candidatos testados.
Quanto ao mínimo absoluto, dos valores avaliados o menor é A(\pi/2)=0, então o mínimo absoluto acontece em \theta=\pi/2.

Resposta

Máximo absoluto: \theta=\dfrac{\pi}{6}, \;A\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.
Mínimo absoluto: \theta=\dfrac{\pi}{2}, \;A\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.

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