Encontre os valores de máximo/mínimo absoluto (global) das funções a seguir, nos intervalos fechados especificados:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores de máximo e mínimo absoluto (globais) da função
no intervalo fechado
.
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio considerado é o intervalo fechado
. - A tarefa é identificar onde ocorrem o máximo absoluto e o mínimo absoluto e calcular os respectivos valores de
.
Passo 2
Estratégia e ideia teórica que vou usar (explicada de forma didática):
- Para uma função contínua num intervalo fechado, o Teorema do Valor Extremo diz que existem máximo e mínimo absolutos e que eles ocorrem ou em pontos críticos internos (onde a derivada é zero ou não existe) ou nas extremidades do intervalo.
- Portanto, vou:
- Calcular a derivada
. - Encontrar as soluções de
que estejam em . - Avaliar
nos pontos críticos encontrados e nos extremos e . - Comparar esses valores para identificar máximo e mínimo absolutos.
- Calcular a derivada
Antes de derivar, convém simplificar a função usando identidades trigonométricas para facilitar contas:
. Assim
Passo 3
Cálculo da derivada passo a passo (relembrando regras usadas):
- Regra do produto: se
, então . - Derivadas básicas:
e .
Tomando
, seja
e
.
-
. -
.
Aplicando a regra do produto:
Agora simplifico:
Usando a identidade
, posso rearranjar para uma forma mais compacta. Observe:
Portanto
Passo 4
Encontrar pontos críticos: resolve-se
, ou seja
Para resolver essa equação é conveniente passar para uma só função trigonométrica; use a identidade
. Seja
. Então:
Rearranjando:
Isto é uma equação quadrática em
. Aplico a fórmula de Bhaskara:
As soluções são
Como
, temos
, então a única solução admissível é
. Isso corresponde a
no intervalo considerado. (A solução
corresponderia a
ou
, que não estão em
.)
Logo o único ponto crítico interno é
.
Passo 5
Avaliar
nos pontos candidatos (pontos críticos e extremos do intervalo):
- Em
:
- Em
:
- Em
(ponto crítico):
Calculo passo a passo:e . Assim
Numérico aproximado:
, que é maior que
e
.
Passo 6
Confirmar a natureza do ponto crítico (teste da segunda derivada, explicando a ideia):
- A segunda derivada ajuda a identificar se um ponto crítico é máximo (segunda derivada negativa), mínimo (segunda derivada positiva) ou ponto de inflexão (segunda derivada zero, podendo exigir análise adicional).
A partir de, derivo novamente:
Avalio em
:
e
. Então
Como
, o ponto
é um máximo local. Comparando os valores já calculados em Passo 5, esse máximo local é também o máximo absoluto no intervalo, porque seu valor é o maior entre os três candidatos testados.
Quanto ao mínimo absoluto, dos valores avaliados o menor é
, então o mínimo absoluto acontece em
.
Resposta
Máximo absoluto:
,
Mínimo absoluto:
,