1i Questão - [Vale 5 , 0 pontos] Derive a função abaixo:
y=\frac{2 x}{\sqrt{3 x-1}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{2x}{\sqrt{3x-1}}
ou seja, vamos usar as regras de derivação: regra do produto (ao reescrever como produto) e regra da cadeia (para a potência de 3x-1).

Passo 2

Reescrevendo y em forma de potência, temos
y = 2x\,(3x-1)^{-\tfrac12}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto, seja
u = 2x,\quad v = (3x-1)^{-\tfrac12}.
Então
u' = 2, \quad v' = -\tfrac12\,(3x-1)^{-\tfrac32}\;\times 3 = -\tfrac{3}{2}\,(3x-1)^{-\tfrac32}.
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y' = u'\,v + u\,v' = 2\,(3x-1)^{-\tfrac12} + 2x\Bigl(-\tfrac{3}{2}\,(3x-1)^{-\tfrac32}\Bigr).

Passo 4

Colocando sobre o mesmo denominador (3x-1)^{3/2}:
2\,(3x-1)^{-\tfrac12} = \frac{2}{(3x-1)^{\tfrac12}} = \frac{2(3x-1)}{(3x-1)^{\tfrac32}},
e
2x\Bigl(-\tfrac{3}{2}\,(3x-1)^{-\tfrac32}\Bigr) = -\frac{3x}{(3x-1)^{\tfrac32}}.
Somando,
y' = \frac{2(3x-1) - 3x}{(3x-1)^{\tfrac32}} = \frac{6x - 2 - 3x}{(3x-1)^{\tfrac32}} = \frac{3x - 2}{(3x-1)^{\tfrac32}}.

Resposta

y' = \frac{3x - 2}{(3x-1)^{\tfrac32}}.

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