1i Questão - [Vale 5 , 0 pontos] Derive a função abaixo:
y=x^{\ln (x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de y = x^{\ln(x)}. Esse tipo de função tem base e expoente que dependem de x, então vamos usar diferenciação logarítmica, que consiste em tomar \ln em ambos os lados para simplificar a expressão antes de derivar.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
\ln(y) = \ln\bigl(x^{\ln(x)}\bigr) = \ln(x)\cdot \ln(x) = \bigl(\ln(x)\bigr)^2.

Passo 3

Derivamos implicitamente em relação a x. Do lado esquerdo, usando regra da cadeia, temos \frac{1}{y}y'. Do lado direito, derivada de (\ln(x))^2 é 2\ln(x)\cdot \frac{1}{x}. Assim,
\frac{1}{y}y' = \frac{2\ln(x)}{x}.

Passo 4

Isolando y', multiplicamos ambos os lados por y e substituímos y = x^{\ln(x)}:
y' = y\cdot \frac{2\ln(x)}{x} = x^{\ln(x)}\cdot \frac{2\ln(x)}{x} = 2\ln(x)\,x^{\ln(x)-1}.

Resposta

y' = 2\ln(x)\,x^{\ln(x)-1}

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