1i Questão - [Vale 5 , 0 pontos] Derive a função abaixo:
y=\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\sqrt{x}}.
O conteúdo principal envolve derivação de função exponencial genérica e aplicação da regra da cadeia. Para simplificar, vamos usar log‐diferenciação.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados para “descer” o expoente:
\ln y = \ln\Bigl((\tfrac12)^{\sqrt{x}}\Bigr) = \sqrt{x}\,\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr).

Passo 3

Derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, usando \frac{d}{dx}\ln y = \frac{y'}{y}. No direito, \ln(\tfrac12) é constante e \frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}. Assim,
\frac{y'}{y} = \ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)\,\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Isolamos y':
y' = y \,\cdot\,\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)\,\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Como y = (\tfrac12)^{\sqrt{x}} e \ln(\tfrac12) = -\ln2, fica
y' = (\tfrac12)^{\sqrt{x}}\;\frac{-\ln2}{2\sqrt{x}}.

Resposta

y' = -\,\frac{\ln2}{2\sqrt{x}}\;\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\sqrt{x}}.

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