(-1+j)^{10}
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede para calcular (-1 + j)^{10}. O conteúdo aqui é exponenciação de número complexo, e vamos usar representação polar e o Teorema de De Moivre para resolver.

Passo 2

Primeiro encontramos o módulo r e o argumento \theta de -1 + j.
O módulo é
r = \lvert -1 + j\rvert = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2}.
Para o argumento, notamos que o ponto (-1,1) está no segundo quadrante, logo
\theta = \pi + \arctan\Bigl(\tfrac{1}{-1}\Bigr) = \pi - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{3\pi}{4}.

Passo 3

Escrevemos então
-1 + j = r\,e^{j\theta}
e aplicamos o Teorema de De Moivre:
(-1 + j)^{10} = \bigl(r\,e^{j\theta}\bigr)^{10} = r^{10}\,e^{j\,10\theta}.

Passo 4

Calculamos separadamente r^{10} e 10\theta:
r^{10} = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{10} = (2^{1/2})^{10} = 2^5 = 32,
10\theta = 10\cdot \tfrac{3\pi}{4} = \tfrac{30\pi}{4} = 7{,}5\pi.
Reduzimos 7{,}5\pi módulo 2\pi:
7{,}5\pi - 2\pi\cdot 3 = 7{,}5\pi -6\pi = 1{,}5\pi = \tfrac{3\pi}{2}.

Passo 5

Logo
(-1 + j)^{10} = 32\,e^{j\,3\pi/2} = 32\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{2} + j\sin\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = 32\,(0 - j) = -32\,j.

Resposta

-32\,j

Exercícios relacionados