Q5 (1pt) Uma tomografia computadorizada produz vistas de seções transversais igualmente espaçadas de um órgāo humano, as quais fornecem informações sobre esse órgão que, de outra maneira, só seriam obtidas por cirurgia. Suponha que uma tomografia computadorizada de um figado humano mostre seções transversais espaçadas por 1 cm . O fígado tem 10 cm de comprimento e as áreas das seções transversais, em centímetros quadrados, sāo
e 0 .
Apresente um modelo para calcular uma estimativa do volume do fígado, explicando seu racíocínio. A nota desta questāo será atribuída pela descrição do método adotado para o cálculo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- O fígado tem comprimento
. - As seções transversais estão igualmente espaçadas por
. - As áreas das seções (em
) são, na ordem ao longo do fígado: . - O enunciado pede: apresentar um modelo para calcular uma estimativa do volume do fígado e explicar o raciocínio.
Passo 2
Ideia contínua por trás do modelo (intuição física e matemática).
- Imagine uma função
que dá a área da seção transversal num ponto ao longo do fígado, com medido em centímetros ao longo do comprimento de a . - O volume real seria a integral da área ao longo do comprimento:
- Como só temos áreas em fatias discretas (amostras a cada
), vamos aproximar essa integral por uma soma discreta. Essa é a ideia básica: aproximar a área sob a curva por pequenas “fatias” e somá‑las.
Passo 3
Modelo discreto elementar (soma de fatias, regra dos somatórios).
- Se as medições de área em posições igualmente espaçadas têm espaçamento
, uma aproximação simples é a soma das áreas multiplicadas pela espessura da fatia (regra do retângulo / soma de Riemann):
- No nosso caso,
. Usando as áreas dadas em ordem, isso dá
- Essa é a estimativa por soma de fatias: cada seção é tratada como um prisma de base a área medida e altura
.
Passo 4
Melhoria (regra trapezoidal) e por que ela é natural aqui.
- Uma aproximação um pouco mais refinada é aproximar o volume entre duas seções consecutivas por um tronco de pirâmide/um trapézio no sentido das áreas. Para duas áreas consecutivas
e separadas por , a aproximação trapezoidal dá o volume aproximado
- Somando os intervalos ao longo de todo o órgão resulta na fórmula trapezoidal para o volume:
Passo 5
Aplicando a regra trapezoidal aos dados fornecidos (e observação prática).
- No enunciado as áreas nas extremidades são
. Com e as áreas internas listadas como , a regra trapezoidal dá
- Observação: por causa dos zeros nas extremidades e do espaçamento
, a soma simples das áreas já coincide com a fórmula trapezoidal nesta situação particular — então não se perde precisão ao usar a soma das áreas como modelo, e ela é fácil de aplicar na prova.
Passo 6
Comentário sobre alternativas (quando usar e por quê).
- Se quiser ainda mais precisão e se tiver certeza de que o número de intervalos é par, pode usar a regra de Simpson, que combina valores com coeficientes
e e costuma ser mais precisa para curvas suaves. A fórmula de Simpson (com ) seria, se os rótulos corresponderem:
- Aqui, porém, como as extremidades são zero e o enunciado pede apenas um modelo prático, a soma das áreas (ou a trapezoidal) é a escolha mais simples e suficiente.
Passo 7
Resumo do método prático para usar na prova (passo a passo curto).
- Pegue as áreas medidas e some-as:
. - Multiplique por
(a espessura entre cortes). - O volume estimado é
e tem unidade .