DESAFIO 02 Encontre os valores de
e
na identidade abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os números
,
,
e
que tornam verdadeira, para todo
(onde a expressão está definida), a identidade
Informações relevantes dadas:
- A expressão à esquerda é
. - A expressão à direita tem a forma
. - Os incógnitos são
, , e .
Passo 2
Vamos simplificar o numerador
. Use a identidade da soma de cubos aplicada aos termos
e
: para quaisquer
e
vale
Aqui tomamos
e
. Substituindo:
Agora usamos a identidade trigonométrica básica
. Logo
Passo 3
Dividimos o resultado do Passo 2 por
. Assim
Separando a fração:
Portanto a expressão à esquerda simplifica para
Passo 4
Para ligar essa forma com expressões em
use duas identidades padrão:
- A identidade do ângulo duplo para o seno:
. Elevando ao quadrado,
Desse modo
- As identidades que expressam
e em termos de :
a partir desegue
e a partir de
segue
Passo 5
Agora escrevemos a forma geral da direita em termos de
e
. Usando as igualdades do Passo 4:
A expressão direita completa fica
Comparando com a forma obtida no Passo 3, que é
, concluímos que a parte dependente de
deve coincidir:
Para que isso ocorra para todo
(onde definido), os expoentes em
e
devem ser iguais, isto é
Passo 6
Com
calculamos o fator numérico
:
A igualdade do coeficiente agora é
Finalmente, comparando as partes constantes (os termos independentes de
) da identidade, a expressão da esquerda era
, ou seja tem o termo constante
. Portanto
Passo 7
Verificação rápida (substituição): com
,
,
,
a direita fica
e usando
obtemos
que coincide com a expressão do Passo 3. Logo os valores encontrados satisfazem a identidade para todo
onde está bem definida.