DESAFIO 02 Encontre os valores de A, B, C e D na identidade abaixo:
\frac{\operatorname{sen}^{6}(x)+\cos ^{6}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x) \cos ^{2}(x)}=A(1-\cos (2 x))^{B}(1+\cos (2 x))^{C}+D

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os números A, B, C e D que tornam verdadeira, para todo x (onde a expressão está definida), a identidade
\frac{\operatorname{sen}^{6}(x)+\cos^{6}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x)}=A(1-\cos(2x))^{B}(1+\cos(2x))^{C}+D.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão à esquerda é \dfrac{\operatorname{sen}^{6}(x)+\cos^{6}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x)}.
  • A expressão à direita tem a forma A(1-\cos(2x))^{B}(1+\cos(2x))^{C}+D.
  • Os incógnitos são A, B, C e D.

Passo 2

Vamos simplificar o numerador \operatorname{sen}^{6}(x)+\cos^{6}(x). Use a identidade da soma de cubos aplicada aos termos \operatorname{sen}^{2}(x) e \cos^{2}(x): para quaisquer a e b vale
a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b).
Aqui tomamos a=\operatorname{sen}^{2}(x) e b=\cos^{2}(x). Substituindo:
\operatorname{sen}^{6}(x)+\cos^{6}(x)=(\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x))^{3}-3\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x)(\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)).
Agora usamos a identidade trigonométrica básica \operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1. Logo
\operatorname{sen}^{6}(x)+\cos^{6}(x)=1-3\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x).

Passo 3

Dividimos o resultado do Passo 2 por \operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x). Assim
\frac{\operatorname{sen}^{6}(x)+\cos^{6}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x)}=\frac{1-3\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x)}.
Separando a fração:
\frac{1}{\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x)}-3.
Portanto a expressão à esquerda simplifica para
\frac{1}{\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x)}-3.

Passo 4

Para ligar essa forma com expressões em \cos(2x) use duas identidades padrão:
  1. A identidade do ângulo duplo para o seno: \sin(2x)=2\sin x\cos x. Elevando ao quadrado,
\sin^{2}(2x)=4\sin^{2}x\cos^{2}x.
Desse modo
\frac{1}{\sin^{2}x\cos^{2}x}=\frac{4}{\sin^{2}(2x)}.
  1. As identidades que expressam \sin^{2}x e \cos^{2}x em termos de \cos(2x):
    a partir de \cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x=1-2\sin^{2}x segue
1-\cos(2x)=2\sin^{2}x,
e a partir de \cos(2x)=2\cos^{2}x-1 segue
1+\cos(2x)=2\cos^{2}x.

Passo 5

Agora escrevemos a forma geral da direita em termos de \sin^{2}x e \cos^{2}x. Usando as igualdades do Passo 4:
(1-\cos(2x))^{B}(1+\cos(2x))^{C}=(2\sin^{2}x)^{B}(2\cos^{2}x)^{C}=2^{B+C}\sin^{2B}x\cos^{2C}x.
A expressão direita completa fica
A\cdot 2^{B+C}\sin^{2B}x\cos^{2C}x + D.
Comparando com a forma obtida no Passo 3, que é \sin^{-2}x\cos^{-2}x-3, concluímos que a parte dependente de x deve coincidir:
A\cdot 2^{B+C}\sin^{2B}x\cos^{2C}x = \sin^{-2}x\cos^{-2}x.
Para que isso ocorra para todo x (onde definido), os expoentes em \sin e \cos devem ser iguais, isto é
2B=-2\quad\Rightarrow\quad B=-1,
2C=-2\quad\Rightarrow\quad C=-1.

Passo 6

Com B=C=-1 calculamos o fator numérico 2^{B+C}:
2^{B+C}=2^{-1-1}=2^{-2}=\frac{1}{4}.
A igualdade do coeficiente agora é
A\cdot\frac{1}{4}=1\quad\Rightarrow\quad A=4.
Finalmente, comparando as partes constantes (os termos independentes de x) da identidade, a expressão da esquerda era \sin^{-2}x\cos^{-2}x-3, ou seja tem o termo constante -3. Portanto
D=-3.

Passo 7

Verificação rápida (substituição): com A=4, B=-1, C=-1, D=-3 a direita fica
4(1-\cos(2x))^{-1}(1+\cos(2x))^{-1}-3=\frac{4}{(1-\cos(2x))(1+\cos(2x))}-3=\frac{4}{1-\cos^{2}(2x)}-3=\frac{4}{\sin^{2}(2x)}-3,
e usando \sin^{2}(2x)=4\sin^{2}x\cos^{2}x obtemos
\frac{4}{4\sin^{2}x\cos^{2}x}-3=\frac{1}{\sin^{2}x\cos^{2}x}-3,
que coincide com a expressão do Passo 3. Logo os valores encontrados satisfazem a identidade para todo x onde está bem definida.

Resposta

A=4
B=-1
C=-1
D=-3

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