Encontre os valores numéricos de A, B e C na identidade abaixo:
\frac{\operatorname{sec} ^{8}(x)-2 \operatorname{sec} ^{6}(x)+\operatorname{sec} ^{4}(x)}{\tan ^{6}(x)}=\left(\operatorname{sec} ^{2}(x)-1\right)^{A} \cdot \operatorname{sec} ^{B}(x)+C

Passo 1

O enunciado nos dá a identidade a ser satisfeita, com incógnitas numéricas A,B,C:
\frac{\operatorname{sec}^{8}(x)-2\operatorname{sec}^{6}(x)+\operatorname{sec}^{4}(x)}{\tan^{6}(x)}=\left(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\right)^{A}\cdot\operatorname{sec}^{B}(x)+C.
O que é pedido: encontrar os valores numéricos de A, B e C de modo que a igualdade seja verdadeira (para os x onde a expressão está definida).
Informações relevantes do enunciado:
  • O numerador é \operatorname{sec}^{8}(x)-2\operatorname{sec}^{6}(x)+\operatorname{sec}^{4}(x).
  • O denominador é \tan^{6}(x).
  • A identidade envolve as funções trigonométricas \operatorname{sec}(x) e \tan(x) e expoentes inteiros possivelmente negativos.
  • Deve-se usar identidades trigonométricas e manipulação algébrica para escrever o lado esquerdo na forma do lado direito.

Passo 2

Vamos simplificar o numerador por fatoração. Observe que todos os termos têm fator comum \operatorname{sec}^{4}(x). Fatore esse termo:
\operatorname{sec}^{8}(x)-2\operatorname{sec}^{6}(x)+\operatorname{sec}^{4}(x)=\operatorname{sec}^{4}(x)\big(\operatorname{sec}^{4}(x)-2\operatorname{sec}^{2}(x)+1\big).
Agora note que \operatorname{sec}^{4}(x)-2\operatorname{sec}^{2}(x)+1 é um quadrado perfeito, pois é igual a \big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{2}. Portanto:
\operatorname{sec}^{8}(x)-2\operatorname{sec}^{6}(x)+\operatorname{sec}^{4}(x)=\operatorname{sec}^{4}(x)\big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{2}.

Passo 3

Usaremos a identidade trigonométrica básica que relaciona \operatorname{sec} e \tan. A identidade pitagórica para tangente e secante é
\operatorname{sec}^{2}(x)=1+\tan^{2}(x).
Rearranjando, obtemos
\tan^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)-1.
Essa igualdade é válida sempre que as funções estiverem definidas. Assim podemos substituir \tan^{2}(x) por \operatorname{sec}^{2}(x)-1 quando for conveniente.

Passo 4

Escreva o denominador \tan^{6}(x) usando a identidade do Passo 3. Como \tan^{6}(x)=(\tan^{2}(x))^{3}, temos
\tan^{6}(x)=\big(\tan^{2}(x)\big)^{3}=\big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{3}.
Aqui foi usada a substituição \tan^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)-1.

Passo 5

Substitua o numerador (Passo 2) e o denominador (Passo 4) na fração original:
\frac{\operatorname{sec}^{8}(x)-2\operatorname{sec}^{6}(x)+\operatorname{sec}^{4}(x)}{\tan^{6}(x)} = \frac{\operatorname{sec}^{4}(x)\big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{2}}{\big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{3}}.
Agora simplifique a potência de \big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big) cancelando fatores: dividir (\operatorname{sec}^{2}-1)^{2} por (\operatorname{sec}^{2}-1)^{3} resulta em (\operatorname{sec}^{2}-1)^{-1}. Assim
\frac{\operatorname{sec}^{4}(x)\big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{2}}{\big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{3}}=\operatorname{sec}^{4}(x)\big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{-1}.
Outra forma de escrever essa expressão é
\operatorname{sec}^{4}(x)\big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{-1}=\big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{-1}\cdot\operatorname{sec}^{4}(x).
Aqui usei a regra de potências ao dividir: a^{m}/a^{n}=a^{m-n}.

Passo 6

Compare a forma obtida com a forma pedida no enunciado:
\big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{A}\cdot\operatorname{sec}^{B}(x)+C.
A expressão obtida é exatamente \big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{-1}\cdot\operatorname{sec}^{4}(x), que é da mesma forma com um termo adicional constante igual a zero. Portanto os valores são
A=-1,\qquad B=4,\qquad C=0.

Resposta

A=-1
B=4
C=0

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