Encontre os valores numéricos de
e
na identidade abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a identidade a ser satisfeita, com incógnitas numéricas
:
O que é pedido: encontrar os valores numéricos de
,
e
de modo que a igualdade seja verdadeira (para os
onde a expressão está definida).
Informações relevantes do enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A identidade envolve as funções trigonométricas
e e expoentes inteiros possivelmente negativos. - Deve-se usar identidades trigonométricas e manipulação algébrica para escrever o lado esquerdo na forma do lado direito.
Passo 2
Vamos simplificar o numerador por fatoração. Observe que todos os termos têm fator comum
. Fatore esse termo:
Agora note que
é um quadrado perfeito, pois é igual a
. Portanto:
Passo 3
Usaremos a identidade trigonométrica básica que relaciona
e
. A identidade pitagórica para tangente e secante é
Rearranjando, obtemos
Essa igualdade é válida sempre que as funções estiverem definidas. Assim podemos substituir
por
quando for conveniente.
Passo 4
Escreva o denominador
usando a identidade do Passo 3. Como
, temos
Aqui foi usada a substituição
.
Passo 5
Substitua o numerador (Passo 2) e o denominador (Passo 4) na fração original:
Agora simplifique a potência de
cancelando fatores: dividir
por
resulta em
. Assim
Outra forma de escrever essa expressão é
Aqui usei a regra de potências ao dividir:
.
Passo 6
Compare a forma obtida com a forma pedida no enunciado:
A expressão obtida é exatamente
, que é da mesma forma com um termo adicional constante igual a zero. Portanto os valores são