W(s)V(s)=1s+2
Desejamos posicionar o eixo do motor em uma determinada posição de referência fixa. Sabendo que a relação entre a velocidade (w) e a posição ( theta ) do eixo do motor é
theta(s)=1s W(s)
comente (justificando) se a situação descrita abaixo é possível e se o procedimento adotado por um engenheiro é correto.

Passo 1

Beleza, então o que o enunciado diz é o seguinte: temos um motor cuja relação (em Laplace) entre tensão de acionamento V(s) e velocidade W(s) é
W(s)V(s)=1s+2,,
e a gente sabe que posição Θ(s) é a “integração” da velocidade:
Theta(s)=1s,W(s),
O conteúdo aqui é teoria de sistemas LTI (modelo por função de transferência) e uso do Teorema do Valor Final para checar se dá pra segurar a posição num valor fixo num esquema aberto (sem realimentação de posição). Para resolver vamos:
  1. montar a TF de V para Θ,
  2. usar valor final para ver o que acontece com Θ(t→∞) quando entrar um degrau,
  3. interpretar se faz sentido ou não.

Passo 2

Vamos achar a função de transferência completa de V(s) para Θ(s). Basta combinar as duas relações:
Theta(s)V(s) =Theta(s)W(s);W(s)V(s) =1s;1s+2 =1s,(s+2)
Isso significa que, se eu aplicar uma entrada V(s), a posição Θ(s) responde como multiplicado por V(s).

Passo 3

Suponha que o engenheiro aplique um degrau de referência fixo de posição diretamente como tensão de acionamento, ou seja,
V(s)=V0s(degrau de amplitude (V0))
Então a resposta em posição é
Theta(s) =1s(s+2);V0s =V0s^2,(s+2)
Para ver o que acontece quando limttoinftyTheta(t) =limsto0s;Theta(s) =limsto0s;V0s^2(s+2) =limsto0V0s(s+2) , a gente aplica o Teorema do Valor Final:
Quando , o denominador , então esse limite vai para infinito.
Em outras palavras, ao invés de estacionar em um valor fixo, a posição vai crescendo indefinidamente (uma rampa que se acelera até estourar).

Passo 4

Isso mostra que, sem um laço de realimentação de posição (e sem um controlador do tipo certo que introduza integração extra na malha), simplesmente mandar um degrau de tensão não vai “travar” o eixo em um ângulo: ele sai acelerando, a posição cresce sem parar.

Resposta

Não é possível posicionar e manter o eixo em referência fixa usando esse procedimento (abrir a malha e aplicar um degrau de tensão). O engenheiro está equivocado: faltou realimentação de posição ou um controlador adequado para gerar erro zero em regime permanente.

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