Obtenha a transformada mathscrZ dos sinais e sequências a seguir, para k in N :
© x(k)=9 k(2^k-1)-2^k+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a transformada Z da sequência para todo natural. A matéria que estamos usando aqui é a Transformada Z, que é uma ferramenta super útil na análise de sinais e sistemas discretos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades básicas da Transformada Z, como a linearidade e as transformadas de sequências comuns tipo e .

Passo 2

Primeiro, vamos separar a sequência em três partes para facilitar a aplicação das transformadas. Ou seja:
x(k) = 9k cdot 2^k-1 - 2^k + 3
Vamos transformar cada termo individualmente.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro termo: 9k cdot 2^k-1 = 92 k cdot 2^k .
Primeiro, note que mathscrZk cdot a^k = a z(z - a)^2 . Então podemos reescrever o termo como:
mathscrZ92 k cdot 2^k = 92 cdot 2 z(z - 2)^2 = 9 z(z - 2)^2
Sabemos que a transformada Z de é:
Aqui, , então:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo: mathscrZa^k = zz - a .
A transformada Z de mathscrZ-2^k = -zz - 2 é:
Nesse caso, , então:

Passo 5

Por último, temos o terceiro termo: mathscrZc = c1 - z^-1 = c zz - 1 .
A transformada Z de uma constante mathscrZ3 = 3 zz - 1 é:
Então:

Passo 6

Agora, juntando todas as partes que transformamos:
mathscrZx(k) = 9 z(z - 2)^2 - zz - 2 + 3 zz - 1

Resposta

A transformada Z da sequência mathscrZx(k) = 9 z(z - 2)^2 - zz - 2 + 3 zz - 1 é:

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