O reservatório tem
de largura e está cheio de óleo até a profundidade mostrada. Determine a força resultante que atua sobre a lateral inclinada
. Considere
. Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um reservatório com 2 metros de largura cheio de óleo até uma certa profundidade, e precisa descobrir qual é a força resultante que está agindo na lateral inclinada AB. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática de fluidos, especialmente sobre pressão hidrostática e como calcular a força resultante em superfícies inclinadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é pressão hidrostática. A pressão em um fluido em repouso aumenta conforme a profundidade. A fórmula para calcular a pressão em um ponto no fluido é:
onde:
- $ \rho $ é a densidade do fluido (no caso, 900 kg/m³ para o óleo),
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²),
- $ h $ é a profundidade a partir da superfície do fluido até o ponto onde queremos calcular a pressão.
Passo 3
Como a superfície AB está inclinada, precisamos considerar que a profundidade $ h $ varia ao longo da superfície. Vamos imaginar que AB vai do ponto mais alto (onde a profundidade é menor) até o ponto mais baixo (onde a profundidade é maior). Para facilitar, vamos assumir que a inclinação de AB é tal que conseguimos expressar $ h $ em função da posição ao longo de AB.
Passo 4
A força diferencial $ dF $ em um pequeno elemento de área $ dA $ na superfície inclinada pode ser calculada multiplicando a pressão $ P $ por esse elemento de área:
Mas como a superfície está inclinada, precisamos integrar essa força diferencial ao longo de toda a superfície AB para encontrar a força total $ F $.
Passo 5
Para integrar, precisamos expressar $ dA $ em termos de uma variável que percorre a extensão de AB. Supondo que a inclinação seja linear, podemos definir $ h $ como uma função linear da posição. A integral ficará assim:
onde:
- $ b $ é a largura do reservatório (2 m),
- $ x $ é a posição ao longo da superfície AB.
Passo 6
Agora, vamos aplicar os valores numéricos. Considerando que a profundidade média $ h_{médio} $ pode ser usada para simplificar a integral, temos:
Onde $ A $ é a área da superfície inclinada AB. Após calcular essa expressão com os valores fornecidos, obtemos: