Passo 1
O enunciado quer a soma da série de potências 1 +
+
+ … que podemos reescrever como
. O conteúdo aqui é soma de séries de potências e vamos usar a série geométrica e sua relação com o logaritmo.
Passo 2
Lembra da série geométrica? Para
vale
. Esse é o ponto de partida para gerar outras séries conhecidas. Se a gente integrar termo a termo essa série geométrica de 0 até
, obtemos a clássica expansão logarítmica: para
,
.
Passo 3
Nosso índice está em
, não em
. Fazendo a troca de variável
, temos
Passo 4
Basta agora substituir
. Logo, para
,
$$\n\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{k+1} = -\frac{\ln(1-x2)}{x2}.
$$