1+x^22+x^43+ldots=sumk=0^infty x^2 kk+1

Passo 1

O enunciado quer a soma da série de potências 1 + x^2/2 + x^4/3 + … que podemos reescrever como sumk=0^infty x^2kk+1. O conteúdo aqui é soma de séries de potências e vamos usar a série geométrica e sua relação com o logaritmo.

Passo 2

Lembra da série geométrica? Para |u|<1 vale sumk=0^infty u^k = 11-u. Esse é o ponto de partida para gerar outras séries conhecidas. Se a gente integrar termo a termo essa série geométrica de 0 até u, obtemos a clássica expansão logarítmica: para |u|<1, sumk=1^infty u^kk = -ln(1-u).

Passo 3

Nosso índice está em k+1, não em k. Fazendo a troca de variável m=k+1, temos

Passo 4

Basta agora substituir u = x^2. Logo, para |x|<1,
$$\n\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{k+1} = -\frac{\ln(1-x2)}{x2}.
$$

Resposta

-ln(1-x^2)x^2

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