A função f dada abaixo é diferenciável em (0,0) ? Justifique sua resposta: f(x, y)=rllx^4x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x,y)=x^4x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
e pergunta se ela é diferenciável em (0,0). O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos calcular as derivadas parciais em (0,0) e depois verificar a definição de diferenciabilidade (linearização + resto pequeno).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais pelo limite. Para partial f/partial x(0,0):
f(h,0)-f(0,0)h=h^4/(h^2+0)-0h=h^2h=hto0(hto0),
logo fx(0,0)=0. De forma análoga, para partial f/partial y(0,0):
f(0,h)-f(0,0)h=0/(0+h^2)-0h=0,,
logo fy(0,0)=0.

Passo 3

A aproximação linear em (0,0) fica
L(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y=0
Para diferenciabilidade, precisamos que
f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2=f(x,y)raizx^2+y^2to0quando (x,y)to(0,0)

Passo 4

Usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta. Então
f(x,y)=r^4cos^4thetar^2=r^2cos^4theta,
e
f(x,y)r=rcos^4thetato0(rto0)
Isso mostra que o resto é de ordem o(r).

Passo 5

Como o quociente f(x,y)/raizx^2+y^2 tende a zero independentemente de theta, concluímos que o erro da linearização é o(|(x,y)|). Portanto, a função é diferenciável em (0,0).

Resposta

Sim. A função é diferenciável em (0,0) porque os parciais existem e o resto da aproximação linear é o(raizx^2+y^2).

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