A função
dada abaixo é diferenciável em
? Justifique sua resposta:
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e pergunta se ela é diferenciável em
. O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos calcular as derivadas parciais em
e depois verificar a definição de diferenciabilidade (linearização + resto pequeno).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais pelo limite. Para
:
logo
. De forma análoga, para
:
logo
.
Passo 3
A aproximação linear em
fica
Para diferenciabilidade, precisamos que
Passo 4
Usamos coordenadas polares:
,
. Então
e
Isso mostra que o resto é de ordem
.
Passo 5
Como o quociente
tende a zero independentemente de
, concluímos que o erro da linearização é
. Portanto, a função é diferenciável em
.
Resposta
Sim. A função é diferenciável em (0,0) porque os parciais existem e o resto da aproximação linear é
.