Calcule as derivadas de segunda ordem da função
dada por:
.
Passo 1
Vamos resumir: queremos as derivadas parciais de segunda ordem da função de duas variáveis
. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais de primeira e depois de segunda ordem, e vamos precisar lembrar das regras básicas de derivação termo a termo.
Passo 2
Para derivadas parciais, a ideia é tratar uma variável como constante e derivar em relação à outra. Lembre-se de que derivar termo a termo significa aplicar a regra do poder e a linearidade da derivação.
Passo 3
Vamos achar primeiro as derivadas parciais de primeira ordem. Em relação a
, derivando termo a termo:
-
-
-
Portanto,
Passo 4
Agora derivada parcial de primeira ordem em relação a
. Derivando termo a termo:
-
-
-
Logo,
Passo 5
Com as primeiras derivadas em mãos, vamos às de segunda ordem. A gente deriva
e
novamente, alternando as variáveis.
Passo 6
Derivando
em relação a
e
:
Passo 7
Derivando
em relação a
e
:
-
-
Repare que, o que bate com o teorema de Clairaut.
Passo 8
Aí estão todas as derivadas de segunda ordem.
Resposta
f_{xx}(x,y)=12x-6y, \quad f_{xy}(x,y)=-6x+2y, \quad f_{yx}(x,y)=-6x+2y, \quad f_{yy}(x,y)=2x