Calcule as derivadas de segunda ordem da função f dada por: f(x, y)=2 x^3-3 x^2 y+x y^2.

Passo 1

Vamos resumir: queremos as derivadas parciais de segunda ordem da função de duas variáveis f(x,y)=2x^3-3x^2y+xy^2. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais de primeira e depois de segunda ordem, e vamos precisar lembrar das regras básicas de derivação termo a termo.

Passo 2

Para derivadas parciais, a ideia é tratar uma variável como constante e derivar em relação à outra. Lembre-se de que derivar termo a termo significa aplicar a regra do poder e a linearidade da derivação.

Passo 3

Vamos achar primeiro as derivadas parciais de primeira ordem. Em relação a x, derivando termo a termo:
  • partialpartial x(2x^3)=6x^2
  • partialpartial x(-3x^2y)=-6xy
  • partialpartial x(xy^2)=y^2
    Portanto,
fx(x,y)=6x^2-6xy+y^2

Passo 4

Agora derivada parcial de primeira ordem em relação a y. Derivando termo a termo:
  • partialpartial y(2x^3)=0
  • partialpartial y(-3x^2y)=-3x^2
  • partialpartial y(xy^2)=2xy
    Logo,
fy(x,y)=-3x^2+2xy

Passo 5

Com as primeiras derivadas em mãos, vamos às de segunda ordem. A gente deriva fx e fy novamente, alternando as variáveis.

Passo 6

Derivando fx(x,y)=6x^2-6xy+y^2 em relação a x e y:
  • fxx = partialpartial x(6x^2-6xy+y^2)=12x-6y
  • fxy = partialpartial y(6x^2-6xy+y^2)=-6x+2y

Passo 7

Derivando fy(x,y)=-3x^2+2xy em relação a x e y:
  • fyx = partialpartial x(-3x^2+2xy)=-6x+2y
  • fyy = partialpartial y(-3x^2+2xy)=2x
    Repare que fxy=fyx, o que bate com o teorema de Clairaut.

Passo 8

Aí estão todas as derivadas de segunda ordem.

Resposta

f_{xx}(x,y)=12x-6y, \quad f_{xy}(x,y)=-6x+2y, \quad f_{yx}(x,y)=-6x+2y, \quad f_{yy}(x,y)=2x

Exercícios relacionados