[2,0] Calcule as derivadas das funções definidas a seguir:
g(x)=(x-1) \cos (x)+\left(x^{2}-1\right) \sin (x).

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=(x-1)\cos(x)+\left(x^{2}-1\right)\sin(x)
e pede para calcular a derivada g'(x).
Informações relevantes: a função é soma de dois produtos dependentes de x: (x-1)\cos(x) e (x^{2}-1)\sin(x). A derivada de uma soma é a soma das derivadas; portanto será preciso derivar cada produto separadamente.

Passo 2

Relembrando regras que vou usar (explicação didática):
  • Derivada da soma: se h(x)=u(x)+v(x) então h'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do produto: se p(x)=u(x)\cdot v(x) então
p'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x),
onde u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v.
  • Derivadas básicas das funções trigonométricas:
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x),\qquad \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Cada variável x representa a variável independente; por exemplo, ao aplicar a regra do produto em u(x)\cdot v(x) calcula-se u'(x) e v'(x) e monta-se u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 3

Derivar o primeiro termo (x-1)\cos(x) usando a regra do produto com u(x)=x-1 e v(x)=\cos(x).
  • u'(x)=\dfrac{d}{dx}(x-1)=1.
  • v'(x)=\dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big((x-1)\cos(x)\big)=1\cdot\cos(x)+(x-1)\cdot(-\sin(x)).
Simplificando:
\frac{d}{dx}\big((x-1)\cos(x)\big)=\cos(x)-(x-1)\sin(x).

Passo 4

Derivar o segundo termo \left(x^{2}-1\right)\sin(x) usando a regra do produto com u(x)=x^{2}-1 e v(x)=\sin(x).
  • u'(x)=\dfrac{d}{dx}(x^{2}-1)=2x.
  • v'(x)=\dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big((x^{2}-1)\sin(x)\big)=2x\cdot\sin(x)+(x^{2}-1)\cdot\cos(x).

Passo 5

Somar as derivadas dos dois termos (pela linearidade da derivada):
g'(x)=\big[\cos(x)-(x-1)\sin(x)\big]+\big[2x\sin(x)+(x^{2}-1)\cos(x)\big].
Agrupando termos semelhantes: junte os termos com \cos(x) e os com \sin(x).
  • Termos com \cos(x):
\cos(x)+(x^{2}-1)\cos(x)=(1+x^{2}-1)\cos(x)=x^{2}\cos(x).
  • Termos com \sin(x):
-(x-1)\sin(x)+2x\sin(x)=(-x+1+2x)\sin(x)=(x+1)\sin(x).
Portanto
g'(x)=x^{2}\cos(x)+(x+1)\sin(x).

Resposta

g'(x)=x^{2}\cos(x)+(x+1)\sin(x)

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