Considere a função
, definida por
. Determine o valor da constante
de tal forma que o gráfico de
tenha como tangente no ponto de abscissa
a reta paralela àquela que é definida pela equação cartesiana
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- A função é
definida por , com desconhecido. - O enunciado pede: determinar o valor de
tal que a reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa seja paralela à reta dada por .
Informações relevantes extraídas:
- A reta
tem coeficiente angular (inclinação) igual a . - A reta tangente ao gráfico de
em terá coeficiente angular igual a (derivada de em ). - Portanto precisamos escolher
de modo que .
Passo 2
Vamos entender a ideia do que é a derivada aqui (a “ inclinação da tangente ”) e como usá-la.
- A derivada
em um ponto representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de naquele ponto: ou seja, a inclinação da tangente. - Para que a tangente em
seja paralela à reta , precisamos que seja igual a , porque a reta dada tem inclinação .
Resumo objetivo desta etapa: determinar
e impor
.
Passo 3
Como a função é uma razão de duas funções, usamos a regra do quociente para derivar. Vou explicar a regra do quociente de forma didática.
- Seja
e duas funções diferenciáveis e com . A regra do quociente diz:
- Aqui
e são as derivadas de e . A ideia é que a derivada de uma divisão combina a derivada do numerador e do denominador seguindo essa fórmula; o denominador ao final fica quadrado.
Passo 4
Aplicar a regra do quociente à nossa função.
- Identificamos
e . - Calculamos as derivadas simples:
-
porque a derivada de é e a derivada da constante é . -
porque a derivada de é e a de é .
-
Agora aplicando a fórmula:
Passo 5
Simplificar a expressão da derivada passo a passo.
- Expandindo o numerador:
- Os termos
e cancelam, sobrando:
- Assim:
Passo 6
Avaliar a derivada em
e impor a condição de paralelismo.
- Substituindo
em :
- Queremos
(mesma inclinação de ). Portanto:
- Resolvendo:
Passo 7
Verificação rápida de validade:
- O ponto
pertence ao domínio , então não há problema em avaliar ou ali. - O denominador em
é , que em vale , portanto a derivada é finita e a tangente existe. Logo é aceitável.