[2,0] Considere a função f: \mathbb{R}-\{1\} \longrightarrow \mathbb{R}, definida por f(x)=\frac{2 x-a}{x-1}. Determine o valor da constante a \in \mathbb{R} de tal forma que o gráfico de f tenha como tangente no ponto de abscissa x=2 a reta paralela àquela que é definida pela equação cartesiana y=x+3.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A função é f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\longrightarrow\mathbb{R} definida por f(x)=\dfrac{2x-a}{x-1}, com a\in\mathbb{R} desconhecido.
  • O enunciado pede: determinar o valor de a tal que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x=2 seja paralela à reta dada por y=x+3.
Informações relevantes extraídas:
  • A reta y=x+3 tem coeficiente angular (inclinação) igual a 1.
  • A reta tangente ao gráfico de f em x=2 terá coeficiente angular igual a f'(2) (derivada de f em 2).
  • Portanto precisamos escolher a de modo que f'(2)=1.

Passo 2

Vamos entender a ideia do que é a derivada aqui (a “ inclinação da tangente ”) e como usá-la.
  • A derivada f'(x) em um ponto x representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f naquele ponto: ou seja, a inclinação da tangente.
  • Para que a tangente em x=2 seja paralela à reta y=x+3, precisamos que f'(2) seja igual a 1, porque a reta dada tem inclinação 1.
Resumo objetivo desta etapa: determinar f'(x) e impor f'(2)=1.

Passo 3

Como a função é uma razão de duas funções, usamos a regra do quociente para derivar. Vou explicar a regra do quociente de forma didática.
  • Seja u(x) e v(x) duas funções diferenciáveis e g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0. A regra do quociente diz:
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{(v(x))^2}.
  • Aqui u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v. A ideia é que a derivada de uma divisão combina a derivada do numerador e do denominador seguindo essa fórmula; o denominador ao final fica quadrado.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente à nossa função.
  • Identificamos u(x)=2x-a e v(x)=x-1.
  • Calculamos as derivadas simples:
    • u'(x)=2 porque a derivada de 2x é 2 e a derivada da constante -a é 0.
    • v'(x)=1 porque a derivada de x é 1 e a de -1 é 0.
Agora aplicando a fórmula:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{(v(x))^2}=\frac{2(x-1)-(2x-a)\cdot 1}{(x-1)^2}.

Passo 5

Simplificar a expressão da derivada passo a passo.
  • Expandindo o numerador:
2(x-1)-(2x-a)=2x-2-2x+a.
  • Os termos 2x e -2x cancelam, sobrando:
2x-2-2x+a=a-2.
  • Assim:
f'(x)=\frac{a-2}{(x-1)^2}.

Passo 6

Avaliar a derivada em x=2 e impor a condição de paralelismo.
  • Substituindo x=2 em f'(x):
f'(2)=\frac{a-2}{(2-1)^2}=\frac{a-2}{1}=a-2.
  • Queremos f'(2)=1 (mesma inclinação de y=x+3). Portanto:
a-2=1.
  • Resolvendo:
a=3.

Passo 7

Verificação rápida de validade:
  • O ponto x=2 pertence ao domínio \mathbb{R}\setminus\{1\}, então não há problema em avaliar f ou f' ali.
  • O denominador em f'(x) é (x-1)^2, que em x=2 vale 1, portanto a derivada é finita e a tangente existe. Logo a=3 é aceitável.

Resposta

a=3

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