[2,0] Calcule as derivadas das funções definidas a seguir:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é uma razão de dois polinômios: numerador
e denominador . - O denominador anula-se quando
. Ao fatorar:
logo as raízes são
e
. Esses pontos não pertencem ao domínio de
(ou seja, a derivada também não estará definida neles).
Passo 2
Vamos relembrar as regras que vamos usar (explicadas de forma bem direta).
- Derivada de um polinômio:
. Exemplo: . - Regra do quociente: se
com , então
Aqui
é a derivada do numerador e
é a derivada do denominador. A ideia é: deriva-se o numerador e multiplica-se pelo denominador, subtrai-se o numerador vezes a derivada do denominador, e divide-se pelo quadrado do denominador.
Passo 3
Identificamos
Calculamos as derivadas de cada polinômio usando a regra do polinômio:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Agora expandimos cada produto do numerador, passo a passo.
Primeiro produto:
Segundo produto: observe que
, então
Expandindo
:
Multiplicando por
:
Passo 6
Subtraímos o segundo produto do primeiro (conforme a regra do quociente) para obter o numerador simplificado:
Observe que alguns termos cancelaram (
cancela com
,
cancela com
).
Passo 7
Portanto a derivada fica
Podemos colocar um sinal negativo em evidência se preferir:
Lembrando a restrição de domínio: esta expressão só vale para
e
, pois nesses pontos o denominador original é zero.
Passo 8
Resumo rápido para a prova: identifique numerador e denominador, calcule
e
(derivada de polinômio é simples), aplique a regra do quociente e expanda com calma. Verifique cancelamentos no numerador antes de tentar simplificar com o denominador (aqui não houve cancelamento possível). Você consegue — respira fundo e refaz os passos seguindo essa sequência.