[2,0] Calcule as derivadas das funções definidas a seguir:
f(x)=\frac{x^{2}+3 x-1}{x^{3}-3 x};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{x^{2}+3x-1}{x^{3}-3x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é uma razão de dois polinômios: numerador u(x)=x^{2}+3x-1 e denominador v(x)=x^{3}-3x.
  • O denominador anula-se quando x^{3}-3x=0. Ao fatorar:
x^{3}-3x=x(x^{2}-3),
logo as raízes são x=0 e x=\pm\sqrt{3}. Esses pontos não pertencem ao domínio de f (ou seja, a derivada também não estará definida neles).

Passo 2

Vamos relembrar as regras que vamos usar (explicadas de forma bem direta).
  • Derivada de um polinômio: \dfrac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1}. Exemplo: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • Regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u'(x) é a derivada do numerador e v'(x) é a derivada do denominador. A ideia é: deriva-se o numerador e multiplica-se pelo denominador, subtrai-se o numerador vezes a derivada do denominador, e divide-se pelo quadrado do denominador.

Passo 3

Identificamos
u(x)=x^{2}+3x-1,\qquad v(x)=x^{3}-3x.
Calculamos as derivadas de cada polinômio usando a regra do polinômio:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(3x)-\frac{d}{dx}(1)=2x+3,
v'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3})-\frac{d}{dx}(3x)=3x^{2}-3.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(2x+3)(x^{3}-3x)-(x^{2}+3x-1)(3x^{2}-3)}{(x^{3}-3x)^{2}}.

Passo 5

Agora expandimos cada produto do numerador, passo a passo.
Primeiro produto:
(2x+3)(x^{3}-3x)=2x\cdot x^{3}+3\cdot x^{3}-2x\cdot 3x-3\cdot 3x =2x^{4}+3x^{3}-6x^{2}-9x.
Segundo produto: observe que 3x^{2}-3=3(x^{2}-1), então
(x^{2}+3x-1)(3x^{2}-3)=3(x^{2}+3x-1)(x^{2}-1).
Expandindo (x^{2}+3x-1)(x^{2}-1):
(x^{2}+3x-1)(x^{2}-1)=x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-3x+1.
Multiplicando por 3:
(x^{2}+3x-1)(3x^{2}-3)=3x^{4}+9x^{3}-6x^{2}-9x+3.

Passo 6

Subtraímos o segundo produto do primeiro (conforme a regra do quociente) para obter o numerador simplificado:
\begin{aligned} &\\ (2x^{4}+3x^{3}-6x^{2}-9x) - (3x^{4}+9x^{3}-6x^{2}-9x+3)\\\ &=2x^{4}-3x^{4} + 3x^{3}-9x^{3} -6x^{2}+6x^{2} -9x+9x -3\\\ &=-x^{4}-6x^{3}-3. \end{aligned}
Observe que alguns termos cancelaram ( -6x^{2} cancela com +6x^{2}, -9x cancela com +9x).

Passo 7

Portanto a derivada fica
f'(x)=\frac{-x^{4}-6x^{3}-3}{(x^{3}-3x)^{2}}.
Podemos colocar um sinal negativo em evidência se preferir:
f'(x)=-\frac{x^{4}+6x^{3}+3}{(x^{3}-3x)^{2}}.
Lembrando a restrição de domínio: esta expressão só vale para x\neq0 e x\neq\pm\sqrt{3}, pois nesses pontos o denominador original é zero.

Passo 8

Resumo rápido para a prova: identifique numerador e denominador, calcule u' e v' (derivada de polinômio é simples), aplique a regra do quociente e expanda com calma. Verifique cancelamentos no numerador antes de tentar simplificar com o denominador (aqui não houve cancelamento possível). Você consegue — respira fundo e refaz os passos seguindo essa sequência.

Resposta

f'(x)=-\frac{x^{4}+6x^{3}+3}{(x^{3}-3x)^{2}}

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