[2,0]\) Considere \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) a função definida pela lei dada a seguir:
\[f(x)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{2}}{2}+1, & \text { se } x \leq 3 \\\ a x+b, & \text { se } x>3 .\end{cases}
a) Determine para quais das constantes a, b \in \mathbb{R}\] a função \(f é contínua;
b) Determine para quais das constantes a, b \in \mathbb{R} a função f é diferenciável (ou derivável).
Passo 1
O enunciado fornece a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por partes:
\[f(x)= \begin{cases}\dfrac{x^{3}}{6}-\dfrac{x^{2}}{2}+1, & \text{se } x \leq 3,\\[6pt] a x+b, & \text{se } x>3. \end{cases}
As perguntas são:
(a) Para quais constantes a,b\in\mathbb{R}\] a função \(f é contínua (em todo \mathbb{R})?
(b) Para quais constantes a,b\in\mathbb{R} a função f é diferenciável (em todo \mathbb{R})?
Informações relevantes dadas:
A parte à esquerda da fronteira é a função \dfrac{x^{3}}{6}-\dfrac{x^{2}}{2}+1, válida para x\le 3.
A parte à direita da fronteira é a função linear ax+b, válida para x>3.
O ponto potencial de descontinuidade/ não-diferenciabilidade é x=3 (é onde a regra muda). Em todo o resto de \mathbb{R} cada ramo é uma função polinomial (ou linear), portanto contínua e diferenciável separadamente.]
Passo 2
Conceito usado para continuidade em x=3 (aqui explico devagar):
Uma função f é contínua em x=3 se o limite quando x tende a 3 existe e é igual ao valor f(3). Para funções por partes isso equivale a pedir que os limites laterais coincidam e que coincidam com o valor no ponto:
\lim_{x\to 3^-} f(x)=\lim_{x\to 3^+} f(x)=f(3).
No nosso caso:
f(3) é dado pela definição do ramo x\le 3 (porque 3 pertence a esse ramo).
\lim_{x\to 3^-} f(x) é o valor do ramo polinomial ao aproximar por valores menores que 3 — isso coincide com f(3) automaticamente por continuidade do polinômio.
\lim_{x\to 3^+} f(x) é o valor que ax+b tende quando x\to 3, isto é 3a+b.
Portanto a condição de continuidade reduz-se a uma equação que liga a e b.
Passo 3
Calcular explicitamente f(3) usando o ramo polinomial:
Para continuidade em x=3 é necessário e suficiente que
3a+b=f(3)=1.
Portanto o conjunto de pares (a,b) que tornam f contínua é exatamente a solução da reta
3a+b=1.
Explicando: qualquer par (a,b) que satisfaça essa equação faz com que o ramo linear se encontre com o ramo polinomial em x=3, sem salto.
Passo 5
Conceito usado para diferenciabilidade em x=3 (explicando devagar):
Uma função f é diferenciável em x=3 se a derivada pelo lado esquerdo em 3 e a derivada pelo lado direito em 3 existirem e forem iguais. Em símbolos:
Além disso, diferenciabilidade em um ponto implica continuidade nesse ponto; portanto qualquer par (a,b) que dê diferenciabilidade em 3 deve também satisfazer a condição de continuidade que já encontramos (3a+b=1).
Vou calcular as derivadas laterais em 3.
Passo 6
Derivada do ramo esquerdo (polinomial):
A regra de derivação que uso é a regra do poder (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando termo a termo à função
Portanto a derivada pela esquerda em x=3 vale \dfrac{3}{2}.
(Comentário didático: podia também calcular o limite do quociente incremental \lim_{h\to0^-}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}, mas usar a derivada do polinômio é muito direto porque polinômios são diferenciáveis em todo ponto.)
Passo 7
Derivada do ramo direito (linear):
Para a função h(x)=ax+b a derivada é simplesmente
h'(x)=a
para todo x. Então a derivada pela direita em x=3 é a.
Passo 8
Igualando as derivadas laterais para diferenciabilidade em x=3:
a=\frac{3}{2}.
Mas, como mencionado no Passo 5, é necessário também que a continuidade seja satisfeita. Substituindo a=\dfrac{3}{2} na condição da Passo 4:
Continuidade: exige que 3a+b=1. Isso define uma reta de possíveis (a,b).
Diferenciabilidade: exige a=\dfrac{3}{2} e, por continuidade obrigatória, leva a b=-\dfrac{7}{2}. Portanto diferenciabilidade ocorre apenas para o par encontrado.