Calcule os limites a seguir:
а)
;
b)
.
а)
b)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de dois limites. Vou listar claramente o que é solicitado e as informações dadas:
- (a) Calcular
. - (b) Calcular
.
Nenhuma outra informação numérica foi dada; tratam-se de limites com indeterminações do tipo
ao primeiro olhar (pois
e
,
quando
). A resolução detalhada começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos tratar do item (a). Primeiro reconhecemos a forma indeterminada: quando
,
e
, logo temos
.
Uma ferramenta muito útil para limites que envolvem
é a identidade trigonométrica
Dessa identidade segue imediatamente que
Passo 3
Aplicamos a identidade com
. Assim
Substituindo no limite de (a) obtemos
Passo 4
Agora escrevemos a expressão de modo a usar o limite padrão
.
Observe que
Observe que
Para aplicar o limite, relacionamos
com a forma
. Faça a mudança
. Então
e
Passo 5
Usamos o limite conhecido (pequena lição rápida): para
,
Justificativa curta: pela expansão em série para
pequeno,
, então
; outra justificativa é a clássica prova geométrica ou o uso do teorema do confronto. Aceitamos
como ferramenta padrão.
Com isso, quando
,
Passo 6
Voltando à expressão do limite:
Portanto o limite do item (a) vale
.
Passo 7
Agora tratamos do item (b). Novamente identificamos a indeterminação: quando
,
e
, então temos formato
.
Uma técnica prática é fazer uma substituição que simplifique a raiz. Defina
Quando
temos
. Agora expressamos
e
em termos de
. Como
, então
portanto
Passo 8
Reescrevendo o quociente do item (b) em função de
,
Agora tomamos o limite quando
.
Passo 9
Usamos dois limites padrão:
-
. (Justificativa curta: , então e, como e , o produto tende a .) -
.
Multiplicando os limites:
Portanto o limite do item (b) vale
.
Resposta
(a)
(b)