Calcule os limites a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão a ser limitada é
. - A variável tende para
. - Não há figuras nem outras condições adicionais.
Passo 2
Primeiro passo técnico: tentar substituição direta para ver se o limite é imediato. Substituir
em cada parte (isto é uma verificação inicial, não a resolução completa). Ao fazer isso:
- No numerador:
em dá . - No denominador:
em dá .
Esses cálculos levam a uma forma do tipo
, que é uma forma indeterminada. Quando temos
é sinal de que precisamos manipular a expressão algébrica antes de avaliar o limite.
Passo 3
Técnica a usar: eliminar a indeterminação racionalizando o denominador (multiplicar por conjugado). O conjugado de
é
. Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado sem mudar o valor da expressão (desde que
não seja ponto onde a expressão não está definida):
O denominador simplifica usando a identidade
:
Portanto a expressão se torna
Passo 4
Agora vamos fatorar o polinômio do numerador
para ver se há cancelamento com o fator
do denominador.
Para fatorar
, calculamos as raízes usando a fórmula do delta (discriminante). O discriminante é
A raiz quadrada de
é
. As raízes são
Logo as raízes são
e
.
Com isso a fatoração fica
Passo 5
Voltemos à expressão obtida no Passo 3 e substituamos a fatoração:
Note que
. Podemos cancelar o fator comum
(desde que
; isso é válido porque estamos tratando de limite, e a simplificação vale para
próximos de
,
):
Agora temos uma expressão simplificada que é contínua em
.
Passo 6
Como a expressão simplificada é contínua em
, podemos calcular o limite por substituição direta:
Calcule passo a passo:
então
Multiplicando,
Resposta
-27