Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{2 x^{2}-x-10}{\sqrt{2 x+13}-3}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to-2}\frac{2x^{2}-x-10}{\sqrt{2x+13}-3}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser limitada é \dfrac{2x^{2}-x-10}{\sqrt{2x+13}-3}.
  • A variável tende para x=-2.
  • Não há figuras nem outras condições adicionais.

Passo 2

Primeiro passo técnico: tentar substituição direta para ver se o limite é imediato. Substituir x=-2 em cada parte (isto é uma verificação inicial, não a resolução completa). Ao fazer isso:
  • No numerador: 2x^{2}-x-10 em x=-2 2\cdot(-2)^{2}-(-2)-10.
  • No denominador: \sqrt{2x+13}-3 em x=-2 \sqrt{2\cdot(-2)+13}-3.
Esses cálculos levam a uma forma do tipo \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Quando temos \dfrac{0}{0} é sinal de que precisamos manipular a expressão algébrica antes de avaliar o limite.

Passo 3

Técnica a usar: eliminar a indeterminação racionalizando o denominador (multiplicar por conjugado). O conjugado de \sqrt{2x+13}-3 é \sqrt{2x+13}+3. Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado sem mudar o valor da expressão (desde que x não seja ponto onde a expressão não está definida):
\frac{2x^{2}-x-10}{\sqrt{2x+13}-3} = \frac{(2x^{2}-x-10)\,(\sqrt{2x+13}+3)}{(\sqrt{2x+13}-3)(\sqrt{2x+13}+3)}.
O denominador simplifica usando a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}:
(\sqrt{2x+13}-3)(\sqrt{2x+13}+3)=(2x+13)-9=2x+4.
Portanto a expressão se torna
\frac{(2x^{2}-x-10)\,(\sqrt{2x+13}+3)}{2x+4}.

Passo 4

Agora vamos fatorar o polinômio do numerador 2x^{2}-x-10 para ver se há cancelamento com o fator 2x+4 do denominador.
Para fatorar 2x^{2}-x-10, calculamos as raízes usando a fórmula do delta (discriminante). O discriminante é
\Delta = (-1)^{2} - 4\cdot 2\cdot(-10) = 1 + 80 = 81.
A raiz quadrada de \Delta é 9. As raízes são
x=\frac{1\pm 9}{2\cdot 2}=\frac{1\pm 9}{4}.
Logo as raízes são x=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2} e x=\dfrac{-8}{4}=-2.
Com isso a fatoração fica
2x^{2}-x-10 = 2(x+2)\left(x-\tfrac{5}{2}\right).

Passo 5

Voltemos à expressão obtida no Passo 3 e substituamos a fatoração:
\frac{(2x^{2}-x-10)\,(\sqrt{2x+13}+3)}{2x+4} = \frac{2(x+2)\left(x-\tfrac{5}{2}\right)\,(\sqrt{2x+13}+3)}{2x+4}.
Note que 2x+4 = 2(x+2). Podemos cancelar o fator comum 2(x+2) (desde que x\neq -2; isso é válido porque estamos tratando de limite, e a simplificação vale para x próximos de -2, x\neq-2):
\frac{2(x+2)\left(x-\tfrac{5}{2}\right)\,(\sqrt{2x+13}+3)}{2(x+2)} = \left(x-\tfrac{5}{2}\right)\,(\sqrt{2x+13}+3).
Agora temos uma expressão simplificada que é contínua em x=-2.

Passo 6

Como a expressão simplificada é contínua em x=-2, podemos calcular o limite por substituição direta:
\lim_{x\to-2}\left(x-\tfrac{5}{2}\right)\,(\sqrt{2x+13}+3) = \left(-2-\tfrac{5}{2}\right)\,\bigl(\sqrt{2\cdot(-2)+13}+3\bigr).
Calcule passo a passo:
-2-\tfrac{5}{2}=\tfrac{-4-5}{2}=\tfrac{-9}{2}, \qquad \sqrt{2\cdot(-2)+13}=\sqrt{-4+13}=\sqrt{9}=3,
então
\bigl(\sqrt{2\cdot(-2)+13}+3\bigr)=3+3=6.
Multiplicando,
\tfrac{-9}{2}\cdot 6 = -9\cdot 3 = -27.

Resposta

-27

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