[2.0] Passe para coordenadas polares e calcule somente a integral em relação a \rho (não precisa substituir as funções de integração, deixe somente indicada a variação):
\iint_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y
onde B é o conjunto de todos (x, y) tais que y \geq x-x^{2} e x^{2}+y^{2}-x \leq 0.

Passo 1

O enunciado pede: passe a integral
\iint_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dx\, dy
para coordenadas polares e calcule somente a integral em relação a \rho (ou seja, faça a integral interna em \rho e deixe indicadas as variações — os limites — como funções de \theta).
As informações dadas sobre a região B são:
y \geq x - x^{2}
e
x^{2}+y^{2}-x \leq 0.
Não há figura adicional; vou usar essas duas equações para determinar as curvas que limitam B e, a partir daí, as variações em coordenadas polares.

Passo 2

Trocar para coordenadas polares: usemos
x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta,
onde \rho\ge 0 e \theta é o ângulo. O elemento de área transforma-se segundo o jacobiano dx\,dy=\rho\,d\rho\,d\theta. A integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira simplesmente \rho. Portanto o integrando total em polares é
\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy \longrightarrow \rho\cdot(\rho\,d\rho\,d\theta)=\rho^{2}\,d\rho\,d\theta.

Passo 3

Transformar a circunferência x^{2}+y^{2}-x=0. Completo o quadrado em x:
x^{2}-x+y^{2}=0 \iff \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\tfrac{1}{4},
ou seja, é o círculo de centro (\tfrac12,0) e raio \tfrac12. Em coordenadas polares:
\rho^{2}=\rho\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \rho(\rho-\cos\theta)=0.
Como \rho\ge 0, a fronteira relevante (fora da origem) é
\rho=\cos\theta,
e isso só faz sentido com \cos\theta\ge 0, ou seja \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big].

Passo 4

Transformar a parábola y=x-x^{2}. Substituindo:
\rho\sin\theta=\rho\cos\theta-\rho^{2}\cos^{2}\theta.
Reorganizando:
\rho^{2}\cos^{2}\theta+\rho(\sin\theta-\cos\theta)=0.
Fatorando \rho (note que \rho=0 é solução correspondente à origem):
\rho\big(\rho\cos^{2}\theta+\sin\theta-\cos\theta\big)=0.
Para \rho>0 a igualdade de contorno dá
\rho=\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos^{2}\theta},\qquad (\cos\theta\neq 0).
Para a desigualdade original y\ge x-x^{2} (ou seja \rho\sin\theta \ge \rho\cos\theta-\rho^{2}\cos^{2}\theta), ao rearranjar obtemos, para \rho\ge 0,
\rho\cos^{2}\theta+\sin\theta-\cos\theta \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \rho \ge \frac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos^{2}\theta}.
Portanto a parábola impõe uma condição de limite inferior para \rho (além de \rho\ge 0); chamemos
g(\theta)=\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos^{2}\theta}.

Passo 5

Determinar o intervalo de \theta e como ficará a variação de \rho. Observações importantes:
  • A circunferência exige \cos\theta\ge 0, logo \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big].
  • A expressão g(\theta) muda de sinal em \theta=\tfrac{\pi}{4}, porque \cos\tfrac{\pi}{4}=\sin\tfrac{\pi}{4} g(\tfrac{\pi}{4})=0.
  • Para \theta<0 (ângulos negativos) obtém-se g(\theta)>\cos\theta, logo o intervalo [g(\theta),\cos\theta] fica vazio (não há \rho>0 que satisfaça ambas). Assim não há contribuição para \theta<0.
  • Para 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{4} temos 0\le g(\theta)\le\cos\theta, portanto a variação radial é
\rho\in\big[g(\theta),\,\cos\theta\big].
  • Para \tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2} temos g(\theta)\le 0, então o limite inferior efetivo (considerando \rho\ge 0 e y\ge x-x^{2}) é \rho=0; assim
\rho\in\big[0,\,\cos\theta\big].
Conclusão: a região B em polares é coberta por \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] com duas faixas:
  • 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}: \rho vai de g(\theta)=\dfrac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos^{2}\theta} até \cos\theta.
  • \tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}: \rho vai de 0 até \cos\theta.

Passo 6

Montar a integral em polares e calcular a integral interna em \rho. Como vimos, o integrando é \rho^{2}. A primitiva em \rho é \dfrac{\rho^{3}}{3}. Assim, para cada faixa de \theta a integral em \rho fica:
Para 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}:
\int_{\rho=g(\theta)}^{\rho=\cos\theta}\rho^{2}\,d\rho = \left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{\rho=\dfrac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos^{2}\theta}}^{\rho=\cos\theta}.
Para \tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}:
\int_{\rho=0}^{\rho=\cos\theta}\rho^{2}\,d\rho = \left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{\rho=\cos\theta}.
Essas são as integrais internas em \rho já calculadas (expressas pela primitiva avaliada nos limites); depois delas resta integrar em \theta sobre os respectivos intervalos, mas o enunciado pediu somente a integral em \rho.

Resposta

\displaystyle \text{Para }0\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}:\quad \left[\dfrac{\rho^{3}}{3}\right]_{\rho=\dfrac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos^{2}\theta}}^{\rho=\cos\theta}
\displaystyle \text{Para }\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}:\quad \left[\dfrac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{\rho=\cos\theta}

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