[2.0] Passe para coordenadas polares e calcule somente a integral em relação a
(não precisa substituir as funções de integração, deixe somente indicada a variação):
onde
é o conjunto de todos
tais que
e
.
Passo 1
O enunciado pede: passe a integral
para coordenadas polares e calcule somente a integral em relação a
(ou seja, faça a integral interna em
e deixe indicadas as variações — os limites — como funções de
).
As informações dadas sobre a região são:
As informações dadas sobre a região
e
Não há figura adicional; vou usar essas duas equações para determinar as curvas que limitam
e, a partir daí, as variações em coordenadas polares.
Passo 2
Trocar para coordenadas polares: usemos
onde
e
é o ângulo. O elemento de área transforma-se segundo o jacobiano
. A integranda
vira simplesmente
. Portanto o integrando total em polares é
Passo 3
Transformar a circunferência
. Completo o quadrado em
:
ou seja, é o círculo de centro
e raio
. Em coordenadas polares:
Como
, a fronteira relevante (fora da origem) é
e isso só faz sentido com
, ou seja
.
Passo 4
Transformar a parábola
. Substituindo:
Reorganizando:
Fatorando
(note que
é solução correspondente à origem):
Para
a igualdade de contorno dá
Para a desigualdade original
(ou seja
), ao rearranjar obtemos, para
,
Portanto a parábola impõe uma condição de limite inferior para
(além de
); chamemos
Passo 5
Determinar o intervalo de
e como ficará a variação de
. Observações importantes:
- A circunferência exige
, logo . - A expressão
muda de sinal em , porque dá . - Para
(ângulos negativos) obtém-se , logo o intervalo fica vazio (não há que satisfaça ambas). Assim não há contribuição para . - Para
temos , portanto a variação radial é
- Para
temos , então o limite inferior efetivo (considerando e ) é ; assim
Conclusão: a região
em polares é coberta por
com duas faixas:
-
: vai de até . -
: vai de até .
Passo 6
Montar a integral em polares e calcular a integral interna em
. Como vimos, o integrando é
. A primitiva em
é
. Assim, para cada faixa de
a integral em
fica:
Para
:
Para
:
Essas são as integrais internas em
já calculadas (expressas pela primitiva avaliada nos limites); depois delas resta integrar em
sobre os respectivos intervalos, mas o enunciado pediu somente a integral em
.