[1.5] Inverta a ordem de integração de \int_{0}^{1}\left[\int_{2 x}^{x+1} f(x, y) d y\right] d x.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{2x}^{x+1} f(x,y)\,dy\right]dx
e pede para inverter a ordem de integração.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
0\le x\le 1,\qquad 2x\le y\le x+1.
O objetivo é reescrever a mesma integral como uma integral em y externa e x interna, ou seja, encontrar limites em y e, para cada y, os limites correspondentes em x.

Passo 2

Descrevendo a região D no plano (x,y) dada pelas desigualdades:
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;2x\le y\le x+1\}.
As curvas relevantes são as retas \,y=2x, e \,y=x+1. Vou achar o ponto de interseção delas resolvendo
2x = x+1 \implies x=1 \quad\text{e então}\quad y=2.ã
Para x=0 temos y\in[0,1]. Para x=1 temos y=2. Assim y varia entre 0 e 2 ao longo da região. Geometricamente D é a região entre as retas y=2x (mais inclinada) e y=x+1 (menos inclinada), cortada entre x=0 e x=1.

Passo 3

Para inverter a ordem, fixamos um y e determinamos os valores de x que satisfazem as desigualdades. Partimos de
2x \le y \le x+1 \quad\text{e}\quad 0\le x\le 1.
Reescrevendo as desigualdades em função de x:
2x \le y \Longrightarrow x \le \frac{y}{2},
y \le x+1 \Longrightarrow x \ge y-1.
Logo, para um dado y, x deve satisfazer
y-1 \le x \le \frac{y}{2}
além de 0\le x\le 1. Combinando essas condições, o intervalo de x é
x\in\big[\max(0,y-1),\;\min(1,\tfrac{y}{2})\big].
Para esse intervalo existir (não vazio) precisamos que \max(0,y-1)\le \min(1,\tfrac{y}{2}). Isso limita y ao intervalo [0,2] (já observado no passo anterior).

Passo 4

Os pontos onde as funções que definem \max e \min trocam de expressão ocorrem em y=1 e y=2. Vamos dividir em dois casos para obter limites simples.
Caso A: 0\le y\le 1.
Aqui y-1\le 0 então \max(0,y-1)=0. Além disso \tfrac{y}{2}\le\tfrac{1}{2}\le 1 então \min(1,\tfrac{y}{2})=\tfrac{y}{2}. Portanto, para 0\le y\le 1,
x\in\big[0,\tfrac{y}{2}\big].

Passo 5

Caso B: 1\le y\le 2.
Aqui y-1\ge 0 então \max(0,y-1)=y-1. Também \tfrac{y}{2}\le 1 pois y\le 2, então \min(1,\tfrac{y}{2})=\tfrac{y}{2}. Portanto, para 1\le y\le 2,
x\in\big[y-1,\tfrac{y}{2}\big].

Passo 6

Escrevendo a integral com a ordem invertida, devemos somar as integrais sobre os dois trechos em y. Assim a integral dada é equivalente a
\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{\tfrac{y}{2}} f(x,y)\,dx\right]dy \;+\; \int_{1}^{2}\left[\int_{y-1}^{\tfrac{y}{2}} f(x,y)\,dx\right]dy.
(Alternativamente, em forma compacta:
\int_{0}^{2}\left[\int_{\max(0,y-1)}^{\min(1,\tfrac{y}{2})} f(x,y)\,dx\right]dy.
)

Resposta

\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{\tfrac{y}{2}} f(x,y)\,dx\right]dy+\int_{1}^{2}\left[\int_{y-1}^{\tfrac{y}{2}} f(x,y)\,dx\right]dy

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