[1.5] Inverta a ordem de integração de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral iterada
e pede para inverter a ordem de integração.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
O objetivo é reescrever a mesma integral como uma integral em
externa e
interna, ou seja, encontrar limites em
e, para cada
, os limites correspondentes em
.
Passo 2
Descrevendo a região
no plano
dada pelas desigualdades:
As curvas relevantes são as retas
, e
. Vou achar o ponto de interseção delas resolvendo
Para
temos
. Para
temos
. Assim
varia entre
e
ao longo da região. Geometricamente
é a região entre as retas
(mais inclinada) e
(menos inclinada), cortada entre
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, fixamos um
e determinamos os valores de
que satisfazem as desigualdades. Partimos de
Reescrevendo as desigualdades em função de
:
Logo, para um dado
,
deve satisfazer
além de
. Combinando essas condições, o intervalo de
é
Para esse intervalo existir (não vazio) precisamos que
. Isso limita
ao intervalo
(já observado no passo anterior).
Passo 4
Os pontos onde as funções que definem
e
trocam de expressão ocorrem em
e
. Vamos dividir em dois casos para obter limites simples.
Caso A:
.
Aqui então
. Além disso
então
. Portanto, para
,
Aqui
Passo 5
Caso B:
.
Aqui então
. Também
pois
, então
. Portanto, para
,
Aqui
Passo 6
Escrevendo a integral com a ordem invertida, devemos somar as integrais sobre os dois trechos em
. Assim a integral dada é equivalente a
(Alternativamente, em forma compacta:
)