Passe para coordenadas polares.
[1.5] \iint \sqrt{2 x-x^{2}-y^{2}} d x d y onde B é a região x^{2}+y^{2}-x \leq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} \sqrt{2x - x^{2} - y^{2}}\,dx\,dy
onde B é a região dada por
x^{2}+y^{2}-x \leq 0.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  1. A região B é definida por x^{2}+y^{2}-x \leq 0.
  2. A função a ser integrada é \sqrt{2x - x^{2} - y^{2}}.
  3. Devemos passar para coordenadas polares e avaliar a integral sobre B.

Passo 2

Identificar geometricamente a região B. Reescrevo a inequação completando quadrado em x:
x^{2}+y^{2}-x \leq 0
\Rightarrow x^{2}-x + y^{2} \leq 0
\Rightarrow \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2} \leq \tfrac{1}{4}.
Portanto B é o disco de centro \left(\tfrac{1}{2},0\right) e raio \tfrac{1}{2}. Vou usar essa forma para justificar limites em polares mais adiante.

Passo 3

Reescrever o integrando de forma conveniente:
2x - x^{2} - y^{2} = 1 - (x-1)^{2} - y^{2}.
Assim o integrando é \sqrt{1 - (x-1)^{2} - y^{2}}. Note que essa quantidade é não negativa quando (x-1)^{2}+y^{2}\leq 1 (disco centrado em (1,0) de raio 1). Como o disco B (centro (\tfrac12,0), raio \tfrac12) está totalmente contido nesse disco maior, o integrando é real e não negativo sobre todo B.

Passo 4

Passo para coordenadas polares padrão:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com jacobiano dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Substituo a inequação de B:
x^{2}+y^{2}-x \leq 0 \quad\Rightarrow\quad r^{2} - r\cos\theta \leq 0.
Como r\ge 0, isso equivale a
0 \le r \le \cos\theta,
portanto é necessário \cos\theta\ge 0, ou seja \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]. Assim os limites de integração em polares são \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] e r\in[0,\cos\theta].

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas polares. Primeiro o integrando:
2x - x^{2} - y^{2} = 2r\cos\theta - r^{2} = r(2\cos\theta - r).
Assim a integral fica
\iint_{B} \sqrt{2x - x^{2} - y^{2}}\,dx\,dy = \int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{\cos\theta} \sqrt{2r\cos\theta - r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.
Reescrevo como
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\cos\theta} r\sqrt{2r\cos\theta - r^{2}}\;dr\;d\theta.

Passo 6

Faço a mudança de variável radial que separa as variáveis: como o limite superior é \cos\theta (positivo), ponho
r = \cos\theta\; t,\qquad t\in[0,1].
Então dr = \cos\theta\,dt. Substituindo no integrando:
2r\cos\theta - r^{2} = \cos^{2}\theta\,(2t - t^{2}),
r\sqrt{2r\cos\theta - r^{2}}\,dr = (\cos\theta\,t)\cdot \cos\theta\sqrt{t(2-t)}\cdot (\cos\theta\,dt) = \cos^{3}\theta\; t\sqrt{t(2-t)}\;dt.
Como essa expressão separa \theta e t, a integral separa:
I=\left(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\;d\theta\right) \left(\int_{0}^{1} t\sqrt{t(2-t)}\;dt\right).

Passo 7

Calculo da integral angular. Uso que \cos^{3}\theta é função par:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\;d\theta =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\;d\theta.
Faço u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta. Então
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\;d\theta =\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du =\left[u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Portanto a integral de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2} vale
2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 8

Calculo da integral em t:
J=\int_{0}^{1} t\sqrt{t(2-t)}\;dt.
Faço a mudança w=t-1, então t=w+1 e quando t vai de 0 a 1, w vai de -1 a 0. Observação útil:
t(2-t)=(w+1)(1-w)=1-w^{2}.
Assim
J=\int_{-1}^{0} (w+1)\sqrt{1-w^{2}}\;dw =\int_{-1}^{0} w\sqrt{1-w^{2}}\;dw + \int_{-1}^{0}\sqrt{1-w^{2}}\;dw.
Calculo cada termo:
  1. Para \int_{-1}^{0} w\sqrt{1-w^{2}}\;dw, use u=1-w^{2}, du=-2w\,dw dando
\int w\sqrt{1-w^{2}}\,dw = -\tfrac{1}{3}(1-w^{2})^{3/2}.
Avaliado de -1 a 0 resulta em -\tfrac{1}{3}.
  1. Para \int_{-1}^{0}\sqrt{1-w^{2}}\;dw: a integral \int_{-1}^{1}\sqrt{1-w^{2}}\,dw é a área do semicírculo de raio 1, ou seja \tfrac{\pi}{2}. Logo do -1 a 0 vale metade disso:
\int_{-1}^{0}\sqrt{1-w^{2}}\;dw = \frac{\pi}{4}.
Somando os dois termos:
J = -\frac{1}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}.

Passo 9

Combino os dois fatores obtidos:
I = \left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3}\cdot\frac{\pi}{4} - \frac{4}{3}\cdot\frac{1}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{4}{9}.
Posso também escrever com denominador comum:
I=\frac{3\pi - 4}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}-\frac{4}{9}

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