Passe para coordenadas polares.
[1.5]
onde
é a região
.
[1.5]
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região dada por
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A região
é definida por . - A função a ser integrada é
. - Devemos passar para coordenadas polares e avaliar a integral sobre
.
Passo 2
Identificar geometricamente a região
. Reescrevo a inequação completando quadrado em
:
Portanto
é o disco de centro
e raio
. Vou usar essa forma para justificar limites em polares mais adiante.
Passo 3
Reescrever o integrando de forma conveniente:
Assim o integrando é
. Note que essa quantidade é não negativa quando
(disco centrado em
de raio
). Como o disco
(centro
, raio
) está totalmente contido nesse disco maior, o integrando é real e não negativo sobre todo
.
Passo 4
Passo para coordenadas polares padrão:
com jacobiano
. Substituo a inequação de
:
Como
, isso equivale a
portanto é necessário
, ou seja
. Assim os limites de integração em polares são
e
.
Passo 5
Escrever a integral em coordenadas polares. Primeiro o integrando:
Assim a integral fica
Reescrevo como
Passo 6
Faço a mudança de variável radial que separa as variáveis: como o limite superior é
(positivo), ponho
Então
. Substituindo no integrando:
Como essa expressão separa
e
, a integral separa:
Passo 7
Calculo da integral angular. Uso que
é função par:
Faço
,
. Então
Portanto a integral de
a
vale
Passo 8
Calculo da integral em
:
Faço a mudança
, então
e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Observação útil:
Assim
Calculo cada termo:
- Para
, use , dando
Avaliado de
a
resulta em
.
- Para
: a integral é a área do semicírculo de raio , ou seja . Logo do a vale metade disso:
Somando os dois termos:
Passo 9
Combino os dois fatores obtidos:
Posso também escrever com denominador comum: